Orthogonal. Maß / Konvergenz < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe folgende Lebesgue-Dichte
[mm] \nu(dx) [/mm] = [mm] \frac{\sqrt{1-q}}{\pi} \sin(\varphi) \prod_{n=1}^{\infty}{(1-q^n) |1-q^n e^{2 i \varphi}|^2 dx}
[/mm]
mit
x = [mm] \frac{2}{\sqrt{1-q}} \cos(\varphi) [/mm] und [mm] \varphi \in [0,\pi].
[/mm]
[mm] \nu [/mm] ist auf [mm] [-2/\sqrt{1-q},2/\sqrt{1-q}] [/mm] definiert und q [mm] \in [/mm] (-1,1) ist ein Deformationsparameter.
Wen es interessiert, das [mm] \nu [/mm] beschreibt das orthogonalisierende Maß für die q-Hermitepolynome, ich denke aber nicht dass dieses Wissen hier relevant ist.
OK, was ich momentan versuche ist folgendes: Für q [mm] \rightarrow [/mm] -1 soll [mm] \nu [/mm] angeblich in [mm] \frac{1}{2}(\delta_{-t} [/mm] + [mm] \delta_{+t}) [/mm] übergehen, wobei [mm] \delta_t [/mm] das Diracmaß im Punkt t sein soll. Keins der Paper, die ich zu dem Thema habe, zeigt das explizit und die Aussagen sind auch nicht identisch, da mal t=1 behauptet wird, dann wieder [mm] t=\sqrt{2}. [/mm] Wegen der Form des Trägers vermute ich mal eher, dass es [mm] \sqrt{2} [/mm] ist. Die Konvergenzaussage ist auch nicht explizit gegeben, es konvergiert (bzw. "goes to") einfach - ich vermute hier mal schwache Konvergenz, aber das ist erstmal geraten. Das versuche ich momentan nachzurechnen.
Für q [mm] \in [/mm] (-1,1) lässt sich das Gerät in eine Thetafunktionsdarstellung bringen. Ganz hilfreich, da für die meisten Betrachtungen die Produktdarstellung reichlich "unbequem" ist. Eine Form der Darstellung ist
[mm] \nu(dx) [/mm] = [mm] \frac{\sqrt{1-q}}{\pi} \sin(\varphi) \frac{1}{1-\gamma^2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}{(-1)^n q^{n(n+1)/2} \gamma^{-2n} dx}
[/mm]
mit [mm] \gamma [/mm] = [mm] \exp(i \varphi).
[/mm]
Für den "schwache Konvergenz"-Ansatz habe ich eine Rechnung wiederverwendet, die ich beim Nachweis der Normiertheit (also [mm] \int_{\IR}{\nu dx} [/mm] = 1) bereits verwendet hatte:
[mm] \int_{\IR}{f(x) \nu dx} [/mm] = [mm] \frac{2}{\pi} q^{-1/8} \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n q^{(2n+1)^2 / 8} \int_0^{\pi}{\sin(\varphi(2n+1)) \sin(\varphi) f(x) d\varphi}}
[/mm]
Allerdings sieht man da (insbesondere wenn man noch x aus f(x) durch den entsprechenden [mm] \varphi [/mm] enthaltenden Term substituiert) gar nichts. Habe auch bereits versucht ohne Integration irgendeine Form vom approximierender Eins aus dem [mm] \nu [/mm] zu isolieren. Habe mich über Darstellungen vom Dirac-Delta schlau gemacht und irgendwas gesucht, was zumindestens entfernt so ähnlich aussieht wie ich es habe. Das einzige was ich bis jetzt gesehen habe ist die "formale Darstellung" durch Dirichlet-Kerne (siehe http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta_function unter "Fourier kernels").
Da wurde das Dirac durch
[mm] \delta(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{2 \pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty}{\exp(inx)}
[/mm]
dargestellt. Habe versucht einen solchen Ausdruck zu isolieren, hat aber auch nicht gefruchtet.
Mir gehen zur Zeit die Ideen aus, zumal ja auch nicht richtig klar ist in welcher Weise da was konvergiert.
Irgendjemand eine Idee für einen Ansatz oder eventuell Hinweise auf Literatur, die Ansätze liefern könnte? Sucht man nach "weak convergence point measure" (oder auch "dirac measure") so findet sich nichts sonderlich interessantes...
Gruß,
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Sa 04.09.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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