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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 Fr 05.05.2006 | | Autor: | ttgirltt |
| Aufgabe | | Sei V ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum. v,w [mm] \in [/mm] V ||v||=||w||=1. Zeigen sie dass es f:V->V orthogonal gibt mit f(v)=w |
Jemand einen Hinweis wie ich das lös helfen mir die Defintion von Norm und Orthoganilität überhaupt weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 Fr 05.05.2006 | | Autor: | statler |
> Sei V ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum. v,w
> [mm]\in[/mm] V ||v||=||w||=1. Zeigen sie dass es f:V->V orthogonal
> gibt mit f(v)=w
Erstmal einen schönen guten Tag!
1. Variante: Nimm eine Drehung, die v nach w bewegt.
2. Variante: Nimm die Spiegelung an einer Hyperebene, die das tut.
Wenn du dir das im [mm] \IR^{3} [/mm] vorstellen kannst (vielleicht reicht auch [mm] \IR^{2}), [/mm] dann wirst du das auch im [mm] \IR^{n} [/mm] hinkriegen. Variante 2 ist glaubich einfacher.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Fr 05.05.2006 | | Autor: | ttgirltt |
Danke erstmal.
Trotzdem komm ich noch nicht recht weiter, wieso hilft mir eine derartige Spiegelung und wie soll ich diese anstellen. Mit den 2 Vektoren v,w wenn bei beiden de Norm 1 haben. Da die Norm die Wurzel aus dem Skalarprodukt dieser Vektoren ist können die Vektoren doch nur aus einsen bestehen dann sehen die doch alles gleich aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Fr 05.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Trotzdem komm ich noch nicht recht weiter, wieso hilft mir
> eine derartige Spiegelung und wie soll ich diese anstellen.
> Mit den 2 Vektoren v,w wenn bei beiden de Norm 1 haben. Da
> die Norm die Wurzel aus dem Skalarprodukt dieser Vektoren
> ist können die Vektoren doch nur aus einsen bestehen dann
> sehen die doch alles gleich aus?
Wieso nur aus Einsen? Was ist mit dem Vektor [mm] $\vector{\sqrt{2}/2 \\ \sqrt{2}/2}$?
[/mm]
Zurueck zur Aufgabe. Denk mal ueber die folgenden Fragestellungen nach:
1. Wenn $f : V [mm] \to [/mm] V$ linear ist und [mm] $(v_1, \dots, v_n)$ [/mm] eine ON-Basis von $V$ ist, was ist dann [mm] $(f(v_1), \dots, f(v_n))$?
[/mm]
2. Sind [mm] $(v_1, \dots, v_n)$ [/mm] und [mm] $(w_1, \dots, w_n)$ [/mm] ON-Basen von $V$, was kannst du dann ueber die durch [mm] $f(v_i) [/mm] = [mm] w_i$, [/mm] $1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n$ definierte lineare Abbildung $f : V [mm] \to [/mm] V$ sagen?
3. Wenn $v [mm] \in [/mm] V$ ein Vektor der Laenge $n$ ist, kannst du eine ON-Basis [mm] $(v_1, \dots, v_n)$ [/mm] von $V$ finden mit [mm] $v_1 [/mm] = v$?
Wenn du zu allem eine (richige) Antwort hast sollte dir auch sofort eine Loesung fuer die Aufgabe in den Sinn kommen 
LG Felix
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