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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:33 Di 25.09.2007 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | [mm] f(x,y)=x^T*A*y [/mm] mit [mm] A=\pmat{ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 } [/mm] definiert auf dem [mm] \IR^3 [/mm] ein Skalarprodukt.
Berechne das orthogonale Komplement bezüglich f von [mm] x=(1,0,0)^T [/mm] (T=Transponiert) und gebe eine Orthonormalbasis dafür an. |
Hi,
ich habe folgendes gemacht:
[mm] x=(1,0,0)^T
[/mm]
[mm] f((1,0,0)^T,y)=(1,0,0)^T*\pmat{ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 }*\vektor{y_1 \\ y_2 \\ y_3}
[/mm]
[mm] =(2,1,-1)*\vektor{y_1 \\ y_2 \\ y_3}=\red{2}y_1+\red{1}y_2\red{-1}y_3
[/mm]
Wie bestimme ich jetzt das orthogonale Komplement?
Suche ich den bzw. die Vektoren v mit [mm] <\vektor{\red{2} \\ \red{1} \\ \red{-1}}|v>=0 [/mm] ?
MfG barsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 Di 25.09.2007 | | Autor: | andreas |
hi
du bist doch im prinzip schon fertig. für $y = [mm] (y_1, y_2, y_3)^t$ [/mm] hast du doch berechnet: $f(x, y) = 0 [mm] \; \Longleftrightarrow \; 2y_1 [/mm] + [mm] y_2 [/mm] - [mm] y_3 [/mm] = 0$, also ist das orthogonale komplement genau die durch die letzte gleichung bestimmte hyperebene. um eine orthonormalbasis anzugeben startest du nun mit einer beliebigen basis und wendest das gram-schmidt'sche orthonormalisierungsverfahren mit dem skalarprodukt $f$ darauf an.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Di 25.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
danke für die Antwort.
> du bist doch im prinzip schon fertig. für [mm]y = (y_1, y_2, y_3)^t[/mm]
> hast du doch berechnet: [mm]f(x, y) = 0 \; \Longleftrightarrow \; 2y_1 + y_2 - y_3 = 0[/mm],
Warum muss [mm] 2y_1+y_2-y_3=0 [/mm] setzen?
> also ist das orthogonale komplement genau die durch die
> letzte gleichung bestimmte hyperebene.
Also wäre [mm] <\vektor{\red{2} \\ \red{1} \\ \red{-1}}|v>=0 [/mm] falsch, oder richtig?
Im Prinzip kommt man so auch auf die Vektoren [mm] v:=y=(y_1,y_2,y_3)^T, [/mm] die
[mm] 2y_1+y_2-y_3=0 [/mm] erfüllen.
Ich frage nur so "eisern", weil es mir um das Verständnis geht. Wenn [mm] <\vektor{\red{2} \\ \red{1} \\ \red{-1}}|v>=0 [/mm] richtig ist, hätte ich es verstanden. 
> orthonormalbasis anzugeben startest du nun mit einer
> beliebigen basis und wendest das gram-schmidt'sche
> orthonormalisierungsverfahren mit dem skalarprodukt [mm]f[/mm]
> darauf an.
Okay, das bekomme ich hin.
>
> grüße
> andreas
MfG barsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Di 25.09.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> > du bist doch im prinzip schon fertig. für [mm]y = (y_1, y_2, y_3)^t[/mm]
> > hast du doch berechnet: [mm]f(x, y) = 0 \; \Longleftrightarrow \; 2y_1 + y_2 - y_3 = 0[/mm],
>
> Warum muss [mm]2y_1+y_2-y_3=0[/mm] setzen?
du suchst doch das orthogonale komplement von $x$ bezüglich dem skalarprodukt $f$, das heißt die vektoren die bezüglich $f$ orthogonal auf $x$ stehen und das sind nun mal per definitionem die vektoren $y$ mit $f(x, y) = 0$! und du hast ja in deinem ersten beitrag ausgerechnet, dass dies genau dann der fall ist, wenn die angegeben lineare gleichung erfüllt ist.
> > also ist das orthogonale komplement genau die durch die
> > letzte gleichung bestimmte hyperebene.
>
> Also wäre [mm]<\vektor{\red{2} \\ \red{1} \\ \red{-1}}|v>=0[/mm]
> falsch, oder richtig?
das kommt darauf an, wass du mit [mm] $\left< \; \cdot \; | \; \cdot \; \right>$ [/mm] meinst. wenn du damit das standardskalarprodukt meinst, also [mm] $\left< x| y \right> [/mm] = [mm] x^t \cdot [/mm] y$, ist es falsch, wenn du damit das skalarprodukt $f$ meinst, also [mm] $\left< x| y \right> [/mm] = f(x, y) = [mm] x^t \cdot [/mm] A [mm] \cdot [/mm] y$, ist es richtig. man muss bei solchen aufgaben eben immer beachten bezüglich welchem skalarprodukt man arbeitet.
> Ich frage nur so "eisern", weil es mir um das Verständnis
> geht.
das ist auch gut so. mache das nur weiter 
grüße
andreas
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