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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Di 02.09.2008 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | Finde eine Orthogonalbasis für die durch die folgende Matrix definierte Bilinearform auf [mm] \IR^3
[/mm]
A = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 } [/mm] |
Eine Orthogonalbasis zu finden war kein Problem:
B = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{-1 \\ -1/2 \\ 1}
[/mm]
Die zugehörige Matrix in Diagonalform ist:
A' = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1/2 }
[/mm]
Das heisst also, A' ist die Matrix der Bilinearform bezüglich meiner neuen Basis, oder?
Aber nun zu meiner eigentlichen Frage:
Es gilt ja folgende Definition:
Sei <,> eine Bil.form auf einem endl. dim. VR. B={ [mm] v_1, [/mm] ... , [mm] v_n [/mm] } ist die Basis für V. Die Matrix der Bil.form bzgl. B ist A = [mm] (a_{ij}) [/mm] mit [mm] a_{ij} [/mm] = [mm] .
[/mm]
Das heisst also, wenn ich jetzt zwei Vektoren aus meiner neuen Basis B = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{-1 \\ -1/2 \\ 1} [/mm] nehme, und diese in <,> (mit Matrix A') reinstecke, sollte ich gerade [mm] a_{ij}' [/mm] erhalten, oder?
Aber ich habe dies versucht, und nicht das gewünschte gekriegt...!
Was ist hier genau falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 Di 02.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ohne auf den Rest einzugehen: deine 3 Vektoren sind nicht orthogonal! der erste und der zweite sind orthogonal, der dritte nicht.
Gruss leduart
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> Ohne auf den Rest einzugehen: deine 3 Vektoren sind nicht
> orthogonal! der erste und der zweite sind orthogonal, der
> dritte nicht.
Hallo,
es geht ja darum, ob sie bzgl der gegebenen Bilinearform orthogonal sind, und das scheint mir doch der Fall zu sein.
Gruß v. Angela
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> Das heisst also, wenn ich jetzt zwei Vektoren aus meiner
> neuen Basis B = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] , [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> , [mm]\vektor{-1 \\ -1/2 \\ 1}[/mm] nehme, und diese in <,> (mit
> Matrix A') reinstecke, sollte ich gerade [mm]a_{ij}'[/mm] erhalten,
> oder?
> Aber ich habe dies versucht, und nicht das gewünschte
> gekriegt...!
> Was ist hier genau falsch?
Hallo,
ich hab' das nicht im einzelnen nachgerechnet, vielleicht reicht Dir aber schon ein Hinweis:
Könnte es sein, daß Dir nicht klar ist, daß Du Deine neue Matrix A' mit Koordinatenvektoren bzgl. Deiner Orthogonalbasis füttern mußt?
Interessierst Du Dich für < $ [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] $ , $ [mm] \vektor{-1 \\ -1/2 \\ 1} [/mm] $ >, so mußt Du [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}A'\vektor{0\\0\\1} [/mm] rechnen.
Es ist [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}_B, [/mm] also der erste Vektor von B
[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}_B, [/mm] also der zweite Vektor von B,
[mm] \vektor{-1 \\ -1/2 \\ 1}=\vektor{0\\0\\1}_B, [/mm] also der dritte Vektor von B.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Di 02.09.2008 | | Autor: | johnny11 |
Hallo,
> Könnte es sein, daß Dir nicht klar ist, daß Du Deine neue
> Matrix A' mit Koordinatenvektoren bzgl. Deiner
> Orthogonalbasis füttern mußt?
>
> Interessierst Du Dich für < [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm] ,
> [mm]\vektor{-1 \\ -1/2 \\ 1}[/mm] >, so mußt Du [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}A'\vektor{0\\0\\1}[/mm]
> rechnen.
>
> Es ist [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}_B,[/mm] also
> der erste Vektor von B
>
> [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}_B,[/mm] also der
> zweite Vektor von B,
>
> [mm]\vektor{-1 \\ -1/2 \\ 1}=\vektor{0\\0\\1}_B,[/mm] also der
> dritte Vektor von B.
>
Ja genau, ich habe gedacht, wenn ich [mm] <\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{-1 \\ -1/2 \\ 1}> [/mm] rechnen möchte, kann ich einfach [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}A'\vektor{-1\\-1/2\\1} [/mm] rechnen...? Aber anscheinend ist dies ja nicht so. Ich muss meine dritten Basisvektor also [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] nehmen, wenn ich die obige Rechnung durchführen möchte?
In diesem Falle stehen dann meine Basisvektoren also auch orthogonal zueinander. 
Aber liege ich richtig, dass dann also A' die Bilinearform bezüglich meiner neuen Basis beschreibt, und nicht mehr A, oder?
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> Aber liege ich richtig, dass dann also A' die Bilinearform
> bezüglich meiner neuen Basis beschreibt, und nicht mehr A,
> oder?
Hallo,
ja, genau das ist der Witz bei der Sache.
A beschreibt die Bilinearform bzgl. der Standardbasis und A' bzgl. B, und daher mußt Du A' mit vektoren bzl. B füttern.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Di 02.09.2008 | | Autor: | johnny11 |
> A beschreibt die Bilinearform bzgl. der Standardbasis und
> A' bzgl. B, und daher mußt Du A' mit vektoren bzl. B
> füttern.
>
..."daher musst du A' mit Vektren bzl. B füttern".
Meinst du mit dieser Aussabe eben, dass ich in diesem Falle den dritten Vektor [mm] \vektor{-1 \\ -1/2 \\ 1}=\vektor{0\\0\\1}_B [/mm] setzen muss?
Mit ist eben noch nicht ganz klar, wie man auf folgendes kommt:
> Es ist [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}_B,[/mm] also
> der erste Vektor von B
>
> [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}_B,[/mm] also der
> zweite Vektor von B,
>
> [mm]\vektor{-1 \\ -1/2 \\ 1}=\vektor{0\\0\\1}_B,[/mm] also der
> dritte Vektor von B.
>
Somit habe ich eben doch dann genau die Standartbasis. Aber du hast gesagt, dass ich A' mit vektoren bzl. B füttern muss, und nicht bzl. der Standartbasis...!
Irgendetwas verstehe ich noch nicht ganz mit dieser Aussage...!
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> > Es ist [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}_B,[/mm] also
> > der erste Vektor von B
> >
> > [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}_B,[/mm] also der
> > zweite Vektor von B,
> >
> > [mm]\vektor{-1 \\ -1/2 \\ 1}=\vektor{0\\0\\1}_B,[/mm] also der
> > dritte Vektor von B.
> >
>
>
> Somit habe ich eben doch dann genau die Standartbasis. Aber
> du hast gesagt, dass ich A' mit Vektoren bzl. B füttern
> muss, und nicht bzl. der Standartbasis...!
> Irgendetwas verstehe ich noch nicht ganz mit dieser
> Aussage...!
hallo,
mal angenommen, Du willst aus irgendwelchen Gründen unbedingt [mm] [/mm] mithilfe der matrix A' berechnen.
Du mußt dafür diese Vektoren erst in Koordinaten bzgl B angeben:
[mm] vektor{5\\4\\0}=5*b_1+4*b_1=\vektor{5\\4\\0}_B [/mm] . Ist ja akein Wunder, daß die gleich sind, denn erster und zweiter Vektor der Standardbasis stimmen mit dem ersten und zweiten Vektor von B überein.
[mm] \vektor{-2 \\ -1\\ 2}=2*\vektor{-1 \\ -1/2 \\ 1}=2*b_3=\vektor{0\\0\\2}_B.
[/mm]
Nun rechnest Du [mm] (5,4,0)A'\vektor{0\\0\\2}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:16 Di 02.09.2008 | | Autor: | johnny11 |
yep, danke für deine Hilfe. Nun sollte es klar sein.
Gruss
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