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| Aufgabe | | Im Vektorraum [mm]V=(\IF_3)^3[/mm] sei die Bilinearform [mm]b:(\IF_3)^3\rightarrow (\IF_3)^3, (x,y)\rightarrow x^TAy[/mm] mit [mm]A= \begin{pmatrix}
0 & 2 & 0 \\
2 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 0
\end{pmatrix}[/mm] gegeben. Bestimmen Sie eine Orthogonalbasis F für den quadratischen Raum und geben sie b bzgl. F an. |
Hallo Zusammen,
also mit Gram-Schmitt klappt das offensichtlich nicht, weil ich durch 0 dividieren müßte. Leider kenne ich kein anderes Verfahren. Verstehe ich es richtig, daß die Orthogonalbasis 2 Elemente hat, weil der Rang von A ebenfalls 2 ist? Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand die Vorgehensweise erklären könnte. Vielen Dank schonmal!
Liebe Grüße
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Hallo couldbeworse,
> Im Vektorraum [mm]V=(\IF_3)^3[/mm] sei die Bilinearform
> [mm]b:(\IF_3)^3\rightarrow (\IF_3)^3, (x,y)\rightarrow x^TAy[/mm]
> mit [mm]A= \begin{pmatrix}
0 & 2 & 0 \\
2 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
> gegeben. Bestimmen Sie eine Orthogonalbasis F für den
> quadratischen Raum und geben sie b bzgl. F an.
> Hallo Zusammen,
>
> also mit Gram-Schmitt klappt das offensichtlich nicht, weil
> ich durch 0 dividieren müßte. Leider kenne ich kein
> anderes Verfahren. Verstehe ich es richtig, daß die
> Orthogonalbasis 2 Elemente hat, weil der Rang von A
> ebenfalls 2 ist? Ich würde mich sehr freuen, wenn mir
Wenn Du nach Gram-Schmidt vorgehst, ja.
> jemand die Vorgehensweise erklären könnte. Vielen Dank
> schonmal!
Berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren der gegebenen Matrix.
>
> Liebe Grüße
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
> Berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren der gegebenen
> Matrix.
Also ich bekomme als einzigen Eigenwert 0 und damit Eigenvektoren der Form (2,0,1). Wie geht es dann weiter?
Gruß
Couldbeworse
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Moin,
> > Berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren der gegebenen
> > Matrix.
>
> Also ich bekomme als einzigen Eigenwert 0 und damit
> Eigenvektoren der Form (2,0,1). Wie geht es dann weiter?
Ich habe auch noch die Eigenwerte [mm] \pm2\sqrt{2}. [/mm] Da scheint bei dir etwas schiefgelaufen zu sein, am besten du rechnest mal vor.
EDIT: Das trifft natürlich nicht im [mm] \IF^3 [/mm] zu.
LG
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Kann gut sein, daß ich mich vertan hab. Ich wußte gar nicht, daß man in [mm]\IF_3[/mm] Wurzeln ziehen kann....schön peinlich. Also ich bekomme für das charakteristische Polynom [mm]P=(-x)^3+2x[/mm]. Wenn ich jetzt [mm]\pm2\sqrt{2}.[/mm] einsetze paßt das auch.
Dann bekomme ich also Eigenvektoren der Form [mm](2,0,1), (1,2\sqrt{2},1), (1,\sqrt{2},1) [/mm]. Stimmt das so?
LG
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> Kann gut sein, daß ich mich vertan hab. Ich wußte gar
> nicht, daß man in [mm]\IF_3[/mm] Wurzeln ziehen kann...
Der einzige der sich hier vertan hat, das bin ich. Ich habe nicht beachtet, dass es sich hier um dem [mm] \IF^3 [/mm] handelt.
Es gibt im [mm] \IF^3 [/mm] keine Wurzeln.
Du kannst aber folgendes Verfahren, um b zu diagonalisieren anwenden:
Ist [mm] b\neq0, [/mm] so finde einen Vektor [mm] v\in\IF^3 [/mm] mit [mm] b(v,v)\neq0. [/mm] Berechne dann das orthogonale Komplement [mm] W=\{v\}^\perp [/mm] bezüglich b. Es ist dann [mm] \IF^3=W\oplus [/mm] span(v).
Jetzt kannst du das Verfahren auf b|W fortsetzen (quasi induktiv).
Ist [mm] b\neq0, [/mm] so kannst du die restlichen Basisvektoren mit Vektoren aus dem orthogonalen Komplement von [mm] V=\IF^3 [/mm] auffüllen. Das sind die Vektoren des bereits berechneten Kerns der Matrix, also die in span(1,0,-1) liegen.
LG
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> Es gibt im [mm]\IF^3[/mm] keine Wurzeln.
OK, dann bin ich ja beruhigt.
> Ist [mm]b\neq0,[/mm] so finde einen Vektor [mm]v\in\IF^3[/mm] mit
> [mm]b(v,v)\neq0.[/mm] Berechne dann das orthogonale Komplement
> [mm]W=\{v\}^\perp[/mm] bezüglich b. Es ist dann [mm]\IF^3=W\oplus[/mm]
> span(v).
Ich habe für v=(1,1,0) und damit für W=span(0,1,2),(2,0,1) und diese drei Vektoren sind Orthogonalbasis. Ich habe die Vektoren jetzt durch probieren gefunden, gibt es da auch ein System?
LG
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Moin,
> > Ist [mm]b\neq0,[/mm] so finde einen Vektor [mm]v\in\IF^3[/mm] mit
> > [mm]b(v,v)\neq0.[/mm] Berechne dann das orthogonale Komplement
> > [mm]W=\{v\}^\perp[/mm] bezüglich b. Es ist dann [mm]\IF^3=W\oplus[/mm]
> > span(v).
>
> Ich habe für v=(1,1,0) und damit für W=span(0,1,2),(2,0,1) und diese drei Vektoren sind Orthogonalbasis.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich habe die Vektoren jetzt durch probieren gefunden, gibt es da auch ein System?
Das habe ich dir in meiner vorigen Antwort beschrieben.
Hier hast du am Anfang den Vektor [mm] v_1:=(1,1,0) [/mm] gefunden mit [mm] b(v_1,v_1)=1\neq0.
[/mm]
Es ist dann [mm] \{v_1\}^\perp=Ker (Av_1)^T=Ker (2,2,2)=span(\vektor{0\\1\\2},\vektor{2\\0\\1})
[/mm]
Nun suchst und findest du [mm] v_2:=(0,1,2) [/mm] mit [mm] b(v_2,v_2)=2\neq0, [/mm] das ist der zweite Basisvektor.
So nun müsstest du [mm] \{v_1,v_2\}^\perp [/mm] berechnen. Da du aber schon weißt, dass die Matrix A Rang 2 hat, kannst du gleich den bereits berechneten Vektor [mm] v_3:=(2,0,1) [/mm] aus dem Kern von A wählen.
Damit hast du die Orthogonalbasis [mm] \{v_1,v_2,v_3\}
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:04 Sa 25.06.2011 | | Autor: | pallago |
Hallo,
ich habe auch noch eine Frage zu der Antwort.
Wenn ich das nachrechne, so erhalte ich b<v1,v1> = 4 und b<v2,v2> = 8
Wie erhält man denn aus Kern(2,2,2) = span ( (0,1,2) , (2,0,1) )?
Ich kann zwar den Kern einer Matrix ausrechnen, wie berechne ich den Kern eines Vektors?
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Hallo palago,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> ich habe auch noch eine Frage zu der Antwort.
> Wenn ich das nachrechne, so erhalte ich b<v1,v1> = 4 und
> b<v2,v2> = 8
Wir sind im [mm] \IF^3, [/mm] d.h. 8=2, 4=1
> Wie erhält man denn aus Kern(2,2,2) = span ( (0,1,2) ,
> (2,0,1) )?
> Ich kann zwar den Kern einer Matrix ausrechnen, wie
> berechne ich den Kern eines Vektors?
Das ist doch letztendlich eine Matrix mit 1 Zeile und 3 Spalten, deswegen funktioniert das Verfahren genauso, wie wenn man normal den Kern berechnet.
LG
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