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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Orthogonalbasis/ Orthonormalbasis
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Orthogonalbasis/ Orthonormalbasis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:31 Fr 11.06.2004
Autor: Cathrine

HAllo liebe Matheraumbesucher,

weiß jemand... (ist die Frage retorisch? ;-) ), wie man den Unterschied zwischen einer Orthonormalbasis und einer Orthogonalbasis erklären kann?

UND: Wie rechnet man generell eine Orthogonalbasis aus?

UND: Wie rechnet man generell eine Orthogonalbasis aus?

Wo benutzt man auch das Gram-Schmidt Verfahren? Das darf man ja nicht bei beiden benutzen, oder???

Vielen Dank schon mal, liebe Grüße Cathy



        
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Orthogonalbasis/ Orthonormalbasis: Teil 1
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:48 Fr 11.06.2004
Autor: Paulus

Hallo Cathy

da ich im Moment knapp an der Zeit bin, begnüge ich mich vorerst mit einer Teilbeantwortung. Vielleicht hilft dir diese ja auch etwas weiter.

> HAllo liebe Matheraumbesucher,
>  
> weiß jemand... (ist die Frage retorisch? ;-) ), wie man den
> Unterschied zwischen einer Orthonormalbasis und einer
> Orthogonalbasis erklären kann?
>  

Gemeinsamkeiten: die Skalarprodukte von zwei unterschiedlichen Basisvektoren ist = 0, das heisst: sie sind orthogonal zueinander.(Raümlich-geometrisch gesprochen: sie stehen senkrecht aufeinander)

Unterschiede: Bei der Orthonormalbasis gilt zusätzlich: das Skalarprodukt jedes Basisvektors mit sich selber ist = 1.
(Raümlich-geometrisch gesprochen: sie haben alle die Länge 1)


Bei der Orthogonalbasis dürfen die Basisvektoren also beliebige Längen haben, bei der Orthonormalbasis muss die Länge = 1 sein.

Die Mathe-Götter mögen mir diese Schreibweise verzeihen; ich möchte lediglich etwas Anschauliches machen. ;-)

Mit lieben Grüssen

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Orthogonalbasis/ Orthonormalbasis: Teil 1
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:53 Fr 11.06.2004
Autor: Cathrine

Hallo Paulus,

das ging ja sehr schnell!!!
Vielen Dank, Cathy

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Orthogonalbasis/ Orthonormalbasis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:36 Fr 11.06.2004
Autor: Julius

Liebe Cathrine!

Mit dem Gram-Schmidt-Verfahren kannst du ja in einem euklidischen Raum eine Orthonormalbasis bestimmen. Da eine Orthonormalbasis erst recht eine Orthogonalbasis ist, hast du damit auch eine Orthogonalbasis bestimmt.

Schau dir das Gram-Schmidt-Verfahren noch einmal an:

Zwischendurch normiert man ja immer, d.h. man teilt durch die Norm der Vektoren, damit die entstehenden Vektoren die Norm $1$ haben.

Diese Schritte kannst du weglassen, wenn du nur eine Orthogonalbasis und keine Orthonormalbasis bestimmen willst.

Liebe Grüße
Julius

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Orthogonalbasis/ Orthonormalbasis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:56 Sa 12.06.2004
Autor: Cathrine

Da ich mich zu allem Übel (was ich damit meine ist mein Verständnis im Allgemeinen) nun auf meine Klausur in LA vorbereiten muss, habe ich ebim Lernen die Erkenntnis gewonnen, dass wir Norm in LA gar nicht definiert haben...
Kann das sein?
Wir rechnen mit Orthonormalbasen!!! Aber ich habe ganz genau darauf geachtet, onb ich nicht etwas übersehen habe. Es gibt keine Definition in unserer Vorlesung. Dafür haben wir die Länge im Zusammenhang mit dem Skalarprodukt theoretisch behandelt.
Stellt das ein Problem dar für die Berechnung der Orthonormalbasis???
Muss ich dann also durch die LÄNGE teilen???

Sorry, soviele dumme Frage auf einmal, ich weiß...  :-(
Grüße Cathrine

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Orthogonalbasis/ Orthonormalbasis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:47 Sa 12.06.2004
Autor: Flux

[Die Buttons funktionieren bei mir nicht - irgendein JS-Fehler]

Hi Cathrine!

Ich bereite mich auch gerade auf die LinA-Klausur vor und habe grad nochmal unsere definition einer Norm rausgekramt:

Die Norm eines Vektorraumes V über K (wobei K Elemet R oder C) hat
für alle x,y Elemet V
und alle a Elemet K
die Eigenschaften:

1.) ||x|| = |a|*||x||
2.) ||x+y|| <= ||x|| + ||y|| (Dreiecksungleichung)
3.) ||x|| >= 0 und ||x|| = 0 nur für x = 0 (positiv definit)

In einem euklidischen Vektorraum (Vektorraum mit Skalarprodukt) ist die Norm definiert als ||x|| := sqrt( (x|x) ), wobei (x|x) das Standardskalarprodukt ist.

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Orthogonalbasis/ Orthonormalbasis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:21 Sa 12.06.2004
Autor: Stefan

Liebe Cathrine!

> Da ich mich zu allem Übel (was ich damit meine ist mein
> Verständnis im Allgemeinen) nun auf meine Klausur in LA
> vorbereiten muss, habe ich ebim Lernen die Erkenntnis
> gewonnen, dass wir Norm in LA gar nicht definiert
> haben...
>  Kann das sein?

Ihr habt das dann anders genannt, nämlich die "Länge" eines Vektors.

>  Wir rechnen mit Orthonormalbasen!!! Aber ich habe ganz
> genau darauf geachtet, onb ich nicht etwas übersehen habe.
> Es gibt keine Definition in unserer Vorlesung. Dafür haben
> wir die Länge im Zusammenhang mit dem Skalarprodukt
> theoretisch behandelt.
>  Stellt das ein Problem dar für die Berechnung der
> Orthonormalbasis???

Nein. :-)

>  Muss ich dann also durch die LÄNGE teilen???

Ja. [ok]  

Liebe Grüße
Stefan

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Orthogonalbasis/ Orthonormalbasis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:48 Sa 12.06.2004
Autor: Cathrine

Ich bin erleichtert, dann habe ich ja doch nichts falsches gelernt!!!
Okay, vielen Dank für die geduldigen Erklärungen und Definitionen...

Bis zur nächsten Frage ;-)

Cathy


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