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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Di 11.12.2007 | | Autor: | Maja83 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie eine OGB des [mm] \IR^3 [/mm] vzgl. b(x,y)=x^TBy, die folgende Gestalt hat: [mm] v_1=(1,0,0), v_2=(*,1,0), v_3=(*,*,1). [/mm] B=(1,2,3;2,3,4;3,4,6) [mm] \el \IR^3x3 [/mm] |
Wie berechne ich diese OGB? Ist diese dann eindeutig bestimmt?
Ich habe momentan keine Ahnung, wie das geht..
Ich danke euch,
Maja
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Hallo!
Dieses b(x,y) ist nichts anderes, als ein "ungewöhnliches" Skalarprodukt.
Generell kannst du hier das ![[]](/images/popup.gif) Gram-Schmidt'sche Orthogonalisierungsverfahren verwenden.
In deinem Fall allerdings sind schon so viele Informationen gegeben, daß es anders besser geht.
Orthogonal heißt ja, daß [mm] b(\vec{v}_1, \vec{v}_2)=0 [/mm] gelten muß. Es gibt nur einen einzigen freien Parameter, und das ist die fehlende Komponente in [mm] \vec{v}_2 [/mm] . Die kannst du nun recht einfach berechnen.
Dem zweiten Vektor fehlen zwei Komponenten. Du brauchst also zwei Gleichungen. Hast du ne Idee, welche du da nehmen kannst?
Im Allgemeinen ist eine Orthogonale Basis nicht eindeutig, schon alleine, weil du die Vektoren untereinander vertauschen könntest. Aber hier ist schon so viel vorgegeben, daß das sicher eindeutig ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Di 11.12.2007 | | Autor: | Maja83 |
Hallo!
Mir ist nicht ganz klar, wie ich das ausrechne. Muss ich einfach nur die beiden Vektoren [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] miteinander multiplizieren und die fehlende Komponente bestimmen, damit das Ergebnis 0 ist? Das würde bedeuten, dass [mm] v_2=(0,1,0). [/mm] Aber ich muss doch sicherlich die Matrix B irgendwie miteinbringen? Geschieht das durch die Gleichung b(x,y)=x^TBy, wobei dann x mein [mm] v_1 [/mm] und y mein [mm] v_2 [/mm] wäre?
Ich danke euch,
Maja
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Hallo!
Das normale Skalarprodukt kann man so schreiben:
[mm] \vec{x}\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }\vec{y} [/mm] . Das ist nix anderes als [mm] \vec{x}\vec{y} [/mm] , also das, was du mit "miteinander multiplizieren" meinst. Man kann die Matrix auch einfach weglassen, es kommt das gleiche raus.
Hier hast du aber ein Skalarprodukt, das etwas anders aussieht, statt der Einheitsmatrix hast du diese angegebene. Die kannst du aber nicht weglassen.
Mit anderen Worten: Ja, du mußt nur die Vektoren skalarmultiplizieren, nur daß da noch die Matrix dazwischen geschoben werden muß.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Di 11.12.2007 | | Autor: | Maja83 |
Lieben Dank für deine Hilfe!
Also muss ich hier berechnen:
(1,0,0)*(1,2,3;2,3,4;3,4,6)(*;1;0)=0
So komme ich aber leider zu keinem Ergebnis für *. (1,0,0)*B = B, oder?
Grüße,
Maja
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Hallo!
Verwende doch bitte die Funktionen dieses Forums zum Darstellen von mathematischen Ausdrücken. Das machst übersichtlicher!
(1,0,0)*(1,2,3;2,3,4;3,4,6)(*;1;0)=0 führt recht schnell auf ein Ergebnis:
[mm] \vektor{1\\0\\0}\pmat{1&2&3\\2&3&4\\3&4&6}\vektor{a\\1\\0}
[/mm]
[mm] =\vektor{1\\0\\0}\vektor{a+2\\2a+3\\3a+4}=a+2
[/mm]
Demnach ist a=-2.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 Di 11.12.2007 | | Autor: | Maja83 |
Sorry, ich wußte nicht wie das geht..
-2 habe ich inzwischen auch raus.. Ich hatte einen Fehler bei der Multiplikation.
Wie kann ich das ganze denn jetzt kombinieren für [mm] v_{3}?
[/mm]
Da muss dann jetzt [mm] b({v_1},{v_2},{v_3})=0 [/mm] werden, oder?
Danke,
Maja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:25 Di 11.12.2007 | | Autor: | Maja83 |
Ich hab mir überlegt, dass ich erst mal [mm] {v_1}*B [/mm] und [mm] {v_2}*B [/mm] rechne und hieraus dann [mm] {v_3} [/mm] erschließe, da beide Ergebnisse mit [mm] {v_3} [/mm] multipliziert 0 ergeben müssen.
[mm] {v_1}*B= \pmat{ 1 & 2 & 3 } [/mm] und [mm] {v_2}*B= \plamt{ 0 & 1 & -2 }, [/mm] das ergibt [mm] {a_1}+2{a_2}+3=0 [/mm] und [mm] {a_2}-2=0, [/mm] also [mm] {a_2}=2 [/mm] und [mm] {a_1}=-1, [/mm] also ist mein gesuchter Vektor [mm] {v_3}= \pmat{-1 \\ 2 \\ 1}. [/mm] Richtig?
Das wäre ja dufte... nun ja, die OGB ist hier nun eindeutig bestimmt, da schon so viel angegeben ist, oder?
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Ja, jetzt hast du es. Allerdings solltest du [mm] v_2*B [/mm] nochmal nachrechnen 
Also, das mit dem "zu viel angegeben" ist mathematisch natürlich ziemlich lasch formuliert. Eigentlich ergeben sich ja zwingend diese Gleichungssysteme, aus denen du die drei Parameter bestimmt hast.
Dafür gab es eindeutige Lösungen, und damit sind die Vektoren eindeutig.
Wenn [mm] v_3=\vektor{\star \\ \star \\ \pi} [/mm] wäre, würde sich das natürlich auf die beiden zu berechnenden Parameter auswirken, das ganze wäre aber immernoch eindeutig. Schreibt man aber [mm] v_3=\vektor{\star \\ \star \\ \star} [/mm] , gibt es unendlich viele Lösungen. Das wäre also nicht mehr eindeutig.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:12 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Maja83 |
| Aufgabe | | Geben Sie mithilfe vpn (b) eine Zerlegung [mm] B=C^{T}DC [/mm] an, wobei C eine obere Dreiecksmatrix mit [mm] C_{ii} [/mm] für alle i ist, und D eine Diagnonalmatrix. |
Hallo!
Vielen Dank für deine tolle Hilfe.. Da hatte sich wohl ein Vorzeichenfehler eingeschlichen. Danke!
Nun muss ich noch obige Aufgabe lösen.. Ich weiß, dass [mm] C^{T}=C^{-1} [/mm] gilt, aber wie bestimme ich C? Durch meine Vektoren [mm] v_{1}, v_{2} [/mm] und [mm] v_{3}? [/mm] Also C= [mm] \pmat{ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 }? [/mm] Wie bestimme ich nun D?
Liebe Grüße,
Maja
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(Frage) überfällig | | Datum: | 23:12 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Maja83 |
So, inzwischen glaube ich, dass [mm] C^{T}=C^{-1} [/mm] doch nicht gilt. Ich denke, dass mein C= [mm] \pmat{1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 } [/mm] ist und [mm] C^{T}= \pmat{1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1} [/mm] ist. Aber wie bestimme ich nun D? Irgendwie bekomme ich das nicht hin. Aber eigentlich kann ich doch C und [mm] C^{T} [/mm] irgendwie auf die andere Seite bringen und so D bestimmen, da ich B ja kenne.. aber wie geht das?
Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen..
Danke,
Maja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:31 Do 13.12.2007 | | Autor: | Maja83 |
So, ich habs geschafft, denke ich:
[mm] C^{T}DC= \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1} \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1} \pmat{1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1} [/mm] =B
Ich habe das jetzt gelöst, in dem ich aus meinen im ersten Teil der Aufgabe bestimmten Vektoren eine Matrix T bestimmte ( so wie ich eben C angab), dazu [mm] T^{T} [/mm] bestimmte und dann [mm] TBT^{T} [/mm] ausrechnete, das ergab D. Dann die Inversen zu den T-Matrizen bestimmen und fertig.
Das müsste so stimmen, oder?
Grüße,
Maja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Sa 15.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:32 Fr 14.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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