Orthogonale Ebene aufstellen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sind die Ebenen [mm] E_{0}:2x_{1}+6x_{2}+9x_{3}=121 [/mm] und [mm] E_{1}:6x_{1}+7x_{2}-6x_{3}=-121
[/mm]
1. Zeige, dass die Ebenen [mm] E_{0} [/mm] und [mm] E_{1} [/mm] orthogonal zueinander sind. Stelle eine Gleichung der Schnittgeraden g auf.
2. Bestimme eine Parameterdarstellung der Ebene [mm] E^{*}, [/mm] die sowohl zu [mm] E_{0} [/mm] als auch [mm] E_{1} [/mm] orthogonal ist und den Koordinatenursprung enthält. |
Hallo zusammen!
Mit der ersten Aufgabe habe ich soweit keine Probleme. Durch Prüfung des Skalarprodukts der beiden Normalenvektoren sehe ich, dass die Ebenen orthogonal sind. Auch die Schnittgerade ist einfach zu bestimmen.
Bei der zweiten Aufgabe komme ich zwar auf ein Ergebnis, aber ich bin nicht sicher ob es stimmt:
Da das Skalarprodukt sowohl von [mm] E_{0} [/mm] und [mm] E^{*} [/mm] als auch von [mm] E_{1} [/mm] und [mm] E^{*} [/mm] gleich null sein muss sage ich:
[mm] \vektor{a_{1}\\a_{2}\\a_{3}}\odot\vektor{2 \\ 6\\9}=0 [/mm] und
[mm] \vektor{a_{1}\\a_{2}\\a_{3}}\odot\vektor{6 \\ 7\\-6}=0
[/mm]
Ich erhalte zwei Gleichungssysteme:
[mm] 2a_{1}+6a_{2}+9a_{3}=0
[/mm]
[mm] 6a_{1}+7a_{2}-6a_{3}=0
[/mm]
Durch Umformung ergibt sich:
[mm] a_{2}=-3a_{3}
[/mm]
Das setze ich in die erste Gleichung ein und erhalte:
[mm] a_{1}=4,5a_{3} [/mm] ich setze [mm] a_{3}:=2 [/mm] und bekomme als Normalenvektor der Ebene [mm] E^{*} \vec{n}=\vektor{9 \\ -6\\2}
[/mm]
Somit habe ich die Koordinatengleichung [mm] 9x_{1}-6x_{2}+2x_{3}=b. [/mm] Da die Ebene durch den Koordinatenursprung gehen soll muss b=0 sein.
Stimmt das soweit? Denn eigentlich müsste doch jetzt der Normalenvektor von [mm] E^{*} [/mm] mit beiden Normalenvektoren der Ebenen null ergeben, oder? Tut er aber irgendwie nicht..oder ich verrechne mich!
Danke für jede Hilfe!
Gruß Abilernerin
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Hallo Abilernerin,
alles richtig gerechnet - Glückwunsch!
> [...] eigentlich müsste doch jetzt der
> Normalenvektor von [mm]E^{*}[/mm] mit beiden Normalenvektoren der
> Ebenen null ergeben, oder? Tut er aber irgendwie
> nicht..oder ich verrechne mich!
Du verrechnest Dich. Alles ist gut.
Grüße
reverend
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Vielen Dank reverend! Ich hatte vorher ein anderes Ergebnis und habs damit ausprobiert bis ich einen Fehler gefunden hatte! Hab dann eine Zahl geändert und im Kopf nochmal überschlagen ob jetzt 0 raus kommt aber scheinbar einen Denkfehler gehabt!
Gruß
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Ich kann mir das nicht vorstellen. Wie kann denn eine Ebene gleichzeitig zu zwei orthogonalen Ebenen noch einmal orthogonal sein?
weil wenn die neue Ebene [mm] E_n [/mm] orthogonal ist zur Ebene [mm] E_0 [/mm] dann ist sie doch automatisch parallel zu [mm] E_1 [/mm] oder umgekehrt...?
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Hallo,
da fallen mir zwei Hinweise ein:
1. Stelle dir die Wände eines "normalen europäischen" Zimmers vor. Häufig sind dort zwei Wände (Ebenenausschnitte) orthogonal zueinander und dennoch sind sowohl der Fußboden als auch die Decke zu beiden Wänden orthogonal.
2. Die Ebenen des 3d-Koordinatensystems (xy- / xz- und yz-Ebene) sind auch alle jeweils orthogonal zueinander.
Für weitere Vorstellungen brauchst du sicher Bilder  .
Gruß,
Martin
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Bestimme eine Parameterdarstellung der Ebene $ E, $ die sowohl zu $ [mm] E_{0} [/mm] $ als auch $ [mm] E_{1} [/mm] $ orthogonal ist und den Koordinatenursprung enthält.
> Hallo,
> da fallen mir zwei Hinweise ein:
> 1. Stelle dir die Wände eines "normalen europäischen"
> Zimmers vor. Häufig sind dort zwei Wände
> (Ebenenausschnitte) orthogonal zueinander und dennoch sind
> sowohl der Fußboden als auch die Decke zu beiden Wänden
> orthogonal.
okey die zwei Wände sind orthogonal zum Fußboden und zur Decke aber niemals ist eine Ebene also eine Wand orthogonal zu einer Wand und einem Fußboden, denn nur Wand und Fußboden sind ja schon orthogonal.
In der aufgabe werden ja zwei Ebenen genannt die orthognal sind sagen wir:
Fußboden orthongal [mm] Wand_1
[/mm]
stimmt...
jetzt wollen die eine Ebene [mm] Wand_n, [/mm] die orthogonal zu [mm] Wand_1 [/mm] ist und orthogonal zum Fußboden ist... das ist unmöglich!
Fußboden orthogonal [mm] Wand_1 [/mm] ^ Fußboden orthogonal zu [mm] Wand_n [/mm] ^ [mm] Wand_1 [/mm] orthogonal zu [mm] Wand_n
[/mm]
Wenn das gilt:
Fußboden orthogonal [mm] Wand_1 [/mm] ^ Fußboden orthogonal zu [mm] Wand_n
[/mm]
dann ist [mm] Wand_n [/mm] aber parallel zu [mm] Wand_1 [/mm] damit kann das niemals gleichzeitig erfüllt sein...?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:57 Mi 15.04.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Nimm mal besagte "Raumecke". An ihr sind beide Wände Orthogonal, das heisst, du kannst ein Regalbrett an beiden Wänden befestigen.
(Das Brett hat dann keinerlei Kontakt zum Boden)
Und beide Wände stehen senkrecht auf dem Fussboden.
Also stehen die beidne Wände und der Fussboden jeweils rechtwinklig aufeinander.
Jetzt klarer?
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:44 Do 16.04.2009 | | Autor: | DrNetwork |
ja macht sinn :) hab also ein begrenztes Vorstellungsvermögen :)
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> Gegeben sind die Ebenen [mm]E_{0}:2x_{1}+6x_{2}+9x_{3}=121[/mm] und
> [mm]E_{1}:6x_{1}+7x_{2}-6x_{3}=-121[/mm]
> 2. Bestimme eine Parameterdarstellung der Ebene [mm]E^{*},[/mm] die
> sowohl zu [mm]E_{0}[/mm] als auch [mm]E_{1}[/mm] orthogonal ist und den
> Koordinatenursprung enthält.
> Auch die Schnittgerade ist einfach zu bestimmen.
Hallo Abilernerin,
falls dir das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) bekannt ist,
gibt es für die 2. Aufgabe einen einfacheren Weg:
Der Normalenvektor der gesuchten Ebene steht zu
den ersten beiden Normalenvektoren ebenfalls
normal. Du kannst also [mm] \vec{n}_3=\vec{n}_1\otimes\vec{n}_2 [/mm] berechnen
und dann die Ebenengleichung leicht aufstellen.
Wenn du die Schnittgeradengleichung in
Parameterform schon hast, ist der da drin
steckende Richtungsvektor natürlich auch
schon ein möglicher Vektor [mm] \vec{n}_3 [/mm] !
Du siehst also: es führen viele Wege zu einem
erfolgreichen Mathe-Abi ...
LG Al-Chw.
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