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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 Sa 01.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Hallo
Ich soll eine Matrix S bestimmen sodass gilt D= [mm] S^{-1}*A*S [/mm] eine Diagonalmatrix ist.
[mm] A=\pmat{ -1 & 2 & 4 \\ 2 & 2 &-2 \\ 4 & -2 & -1}
[/mm]
Ich habe mir mal die Eigenwerte [mm] \lambda [/mm] 1= -6 und [mm] \lambda [/mm] 2,3 = 3 ermittelt.
Danach die Eigenvektoren e1 (-1,1/2,1) e2 (1,0,1) e3 (0,2,-1)
[mm] S=\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 1/2 & 0 &2 \\ 1 & 1 & -1}
[/mm]
Diese muss ich ja noch orthonormieren bevor ich [mm] S^{-1} [/mm] bilde.
Ich hätte nun Spalte 1,2 oder Spalte 1,3 mit [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] multipliziert.
Aber wenn ich dann weiterrechne stimmt es schlussendlich nicht.
Wo liegt hier mein Denkfehler? Das mit dem Orthonormieren hab ich noch nicht wirklich verstanden ,auf was ich hier achten muss.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:19 Sa 01.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
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> [mm]S=\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 1/2 & 0 &2 \\ 1 & 1 & -1}[/mm]
>
Stimmt genau.
> Diese muss ich ja noch orthonormieren bevor ich [mm]S^{-1}[/mm]
> bilde.
Nein.
Du invertierst sie einfach, erhälst [mm] S^{-1} [/mm] und in der Diagonal-Matrix [mm] S^{-1}AS [/mm] werden die Eigenwerte von A stehen.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Sa 01.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Aso okay
Aber wann muss ich vorher orthonormieren?
Zb hab ich ein anderes Bsp
A [mm] =\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 }
[/mm]
S= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 }
[/mm]
und dann orthonormiere ich Spalte 1 und 3 mit [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
Aber warum muss ich das hier zB machen und bei obigen Bsp nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 Sa 01.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
das musst du hier auch nicht.
In die Matrix S schreibst du doch spaltenweise Eigenvektoren zu den einzelnen Eigenwerten hinein. Nun ist aber mit v auch jedes Vielfache [mm] \alpha*v [/mm] Eigenvektor zu einem Eigenwert [mm] \lambda, [/mm] also spielt es keine Rolle, welches Vielfache in den einzelnen Spalten du nimmst, du kannst (wenn du willst, oder wenn das verlangt wird) Einheitsvektoren nehmen.
Wenn die Eigenräume nicht orthogonal sind, lassen sich die Eigenvektoren nicht orthonormieren.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 So 02.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Aber ich komme leider nicht auf eine Diagonalmatrix
[mm] S^{-1}*A*S
[/mm]
[mm] \pmat{ -1 & 1/2 & 1 \\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 2 & -1 }*\pmat{ -1 & 2 & 4 \\ 2 & 2 & -2\\ 4 & -2 & -1 }*\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 1/2 & 0 & 2\\ 1 & 1 & -1 }
[/mm]
[mm] =\pmat{ -13.5 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & -3\\ 0 & -3 & 15 }
[/mm]
Wo liegt hier der Fehler
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 So 02.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
du hast die Matrix S transponiert, aber nicht invertiert.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:17 So 02.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Danke
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