Orthogonale Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:31 Sa 22.09.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo,
kann man zu einer Matrix M die Matrix [mm] M^{\perp} [/mm] bestimmen?
Falls ja, wie macht man das denn?
Oder kann man anders von M auf den Kern und den Rang von [mm] M^{\perp} [/mm] schließen?
Viele Grüße
Elefanti
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> kann man zu einer Matrix M die Matrix [mm]M^{\perp}[/mm] bestimmen?
Hallo,
wie ist denn, wenn man eine Matrix A hat, [mm] A^{\perp} [/mm] definiert?
Ich habe das noch nie gehört.
Ich kenne nur, wenn M Teilmenge eines Vekorraumes ist, das orthogonale Komplement [mm] M^{perp} [/mm] von M.
Suchst Du vielleicht so etwas in der Richtung?
Was ist Dein M für eine Matrix?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 Sa 22.09.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo Angela,
darum hat meine Google-Suche wohl auch keine Ergebnisse gebracht.
Aber mir fällt dabei gerade auf, dass ich nicht [mm] Ker(M^{\perp}) [/mm] und [mm] R(M^{\perp}) [/mm] bestimmen will, sondern [mm] Ker(M)^{\perp} [/mm] und [mm] R(M)^{\perp}.
[/mm]
Bei [mm] R(M)^{\perp} [/mm] bin ich davon ausgegangen, dass nach dem Rang gefragt ist, aber da bin ich mir nicht sicher.
Ich habe ein Beispiel:
Von M = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 \\0 & 0 & 2} [/mm]
ist
[mm] Ker(M)^{\perp} [/mm] ={ [mm] \vektor{x \\ -x \\ z} \in \IR^3| [/mm] x,z [mm] \in \IR [/mm] }
Wie man auf [mm] Ker(M)^{\perp} [/mm] weiß ich leider nicht.
Viele Grüße
Elefanti
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> Ich habe ein Beispiel:
> Von M = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 \\0 & 0 & 2}[/mm]
> ist
> [mm]Ker(M)^{\perp}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
={ [mm]\vektor{x \\ -x \\ z} \in \IR^3|[/mm] x,z [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> Wie man auf [mm]Ker(M)^{\perp}[/mm] weiß ich leider nicht.
Ich sag's Dir.
Zunächst bestimmst Du den Kern der Basis. Das kannst Du sicher.
Es ist hier [mm] KernM=<\vektor{1 \\ -1\\0}>.
[/mm]
[mm] (KernM)^{\perp} [/mm] ist ein Vektorraum mit besonderen Eigenschaften.
Zum einen ist [mm] \IR^3=<\vektor{1 \\ -1\\0}> \oplus (KernM)^{\perp}, [/mm] und
zum anderen steht jeder Vektor aus [mm] (KernM)^{\perp} [/mm] senkrecht auf denen aus [mm] <\vektor{1 \\ -1\\0}>=KernM.
[/mm]
Somit steht der Plan: Du benötigst Vektoren [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2, [/mm] die zu [mm] \vektor{1 \\ -1\\0} [/mm] orthogonal sind und [mm] \vektor{1 \\ -1\\0} [/mm] zu einer Basis des [mm] \IR^3 [/mm] ergänzen. Diese spannen dann den gesuchten Raum [mm] (KernM)^{\perp} [/mm] auf.
Für das Bild geht das dann so ähnlich.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Sa 22.09.2007 | | Autor: | elefanti |
Vielen, vielen Dank!
Doch eine Frage habe ich noch:
Warum ist der [mm] Kern(M)^{\perp} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ -x \\ z} [/mm] und nicht [mm] \vektor{x \\ -x \\0}?
[/mm]
Ich habe als die zwei weiteren orthogonalen zur Basis ergänzenden Vektoren [mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] v_2 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] genommen.
Es gilt:
[mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] * [mm] v_1=0
[/mm]
[mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] * [mm] v_2 [/mm] =0
[mm] v_1*v_2 [/mm] = 0
1 -1 0
1 1 0
0 0 1
=>
x-y=0 <=> x=y
x+y= 0 <=> x =-y => da x=y auch gilt x=y=0
z=0
Also Basis des [mm] \IR^3.
[/mm]
Aus den Vektoren [mm] v_1, v_2 [/mm] folgt nun:
1 1 0
0 0 1
x + y = 0 <=> y=-x
z=0
Nun dachte ich mir, dass z beliebig ist, liegt daran dass der von [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] aufgespannte Raum zweidimensional ist, aber der Kern dreidimensional ist.
Viele Grüße
Elefanti
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> Doch eine Frage habe ich noch:
> Warum ist der [mm]Kern(M)^{\perp}[/mm] = [mm]\vektor{x \\ -x \\ z}[/mm]
Hallo,
darüber müßte man in der Tat nochmal nachdenken. Das tun wir etwas später.
> und
> nicht [mm]\vektor{x \\ -x \\0}?[/mm]
DAS kann nicht sein. Wir hatten ja festgestellt, daß der Kern eindimensional ist. Also MUSS das Orthogonale Komplement die Dimension 2 haben, und die hat der hier von Dir vorgeschlagene Raum [mm] \{\vektor{x \\ -x \\0}| x\in \IR\}=<\vektor{1 \\ -1 \\0}> [/mm] nicht.
Wenn Du Dir das unter dem Basisergänzungsaspekt anschaust: ergänzt [mm] \vektor{1 \\ -1 \\0} [/mm] den Vektor, der den Kern aufspannt, zu einer Basis des [mm] \IR^3? [/mm] Nein.
Und es kommt noch schlimmer: [mm] \vektor{1 \\ -1 \\0} [/mm] ergänzt den Vektor, der den Kern aufspannt, um überhaupt gar nix!!! Denn er liegt ja selbst im kern. Die Dir vorliegende Lösung ist verkehrt.
>
> Ich habe als die zwei weiteren orthogonalen zur Basis
> ergänzenden Vektoren [mm]v_1[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] und [mm]v_2[/mm] =
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] genommen.
Die sind prima!!! Die funktionieren nämlich.
Damit ist [mm] (KernM)^{\perp}=<\vektor{1 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1}>, [/mm] oder, anders geschrieben: [mm] \{\vektor{x \\ x \\ z}| x,z\in \IR\}.
[/mm]
Ich hoffe, daß damit alles klar ist, und außerdem hoffe ich, daß sich meine 1,2,3 Gläschen Wein nicht negativ ausgewirkt haben.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:10 Sa 22.09.2007 | | Autor: | elefanti |
Super, vielen vielen Dank!
Viele Grüße
Elefanti
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 So 23.09.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo ihr,
gilt dim(M) = dim(Im(M)) + [mm] dim(Im(M)^\perp)?
[/mm]
Beispiel:
Von M = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 \\0 & 0 & 2} [/mm] ist das Im = [mm] \IR^2, [/mm] da
1 1 1
1 1 0
0 0 2
=> I-II
0 0 1
1 1 0
0 0 2
=> III-2I
0 0 1
1 1 0
0 0 0
=>
1 1 0
0 0 1
Davon sind zwei linear unabhängige Vektoren
[mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1}, [/mm] also Im(M) = [mm] \IR^2.
[/mm]
Aus dim(M) = dim(Im(M)) + [mm] dim(Im(M)^\perp) [/mm] würde ja nun folgen:
3 = 2 + [mm] dim(Im(M)^\perp)
[/mm]
3 = 2 + 1
Wenn man die Vektoren [mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\0} [/mm] und [mm] v_2 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] orthogonal zur Basis [mm] \IR^3 [/mm] ergänzt erhält man ja auch den eindimensionalen Vektor [mm] v_3 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\1}.
[/mm]
Viele Grüße
Elefanti
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> Hallo ihr,
>
> gilt dim(M) = dim(Im(M)) + [mm]dim(Im(M)^\perp)?[/mm]
Hallo,
was meinst Du denn mit dim(M)?
Ich kenne Dimensionen von Vektorräumen, aber nicht von Matrizen.
>
> Beispiel:
> Von M = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 \\0 & 0 & 2}[/mm] ist das
> Im = [mm]\IR^2,[/mm] da
Hilfe!!!
Das ist doch Unfug!!!
Man sieht doch sofort, daß daß M in den [mm] \IR^3 [/mm] abbildet. Also ist das Bild sicher eine Teilmenge des [mm] \IR^3. [/mm]
Was sein kann, ist, daß das Bild von M isomorph ist zum [mm] \IR^2.
[/mm]
>
> 1 1 1
> 1 1 0
> 0 0 2
>
> => I-II
> 0 0 1
> 1 1 0
> 0 0 2
>
> => III-2I
> 0 0 1
> 1 1 0
> 0 0 0
>
> =>
> 1 1 0
> 0 0 1
>
> Davon sind zwei linear unabhängige Vektoren.
Ja.
Das sagt uns, daß von den drei ursprünglichen Spaltenvektoren zwei linear unabhängig sind.
Man sieht sofort, daß das für [mm] \vektor{1\\ 1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{1\\ 0\\2} [/mm] zutrifft.
Also ist Bild [mm] M=<\vektor{1\\ 1\\0},\vektor{1\\ 0\\2}>.
[/mm]
(Du siehst, daß auch [mm] \vektor{1\\ 0\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\ 1\\0} [/mm] keinesfalls diesen Raum aufspannen.)
Nun kannst Du (Bild [mm] M)^{\perp} [/mm] suchen.
Du siehst sofort, daß Du hierfür nur einen Vektor benötigst, und der muß senksrecht stehen auf den beiden Basisvektoren von BildM.
Gruß v. Angela
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