Orthogonale Matrix bestimmen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 Fr 10.04.2009 | | Autor: | Hanz |
| Aufgabe | Gegeben sei [mm] A=\pmat{ 1 & 0 & 5 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 } \in Mat(4,4;\IR).
[/mm]
Bestimme eine orthogonale Matrix B [mm] \in [/mm] O(4) derart, dass [mm] Span(a_1,...,a_i) [/mm] = [mm] Span(b_1,...,b_i) [/mm] für i=1,...,4 gilt. Hierbei bezeichne [mm] a_i [/mm] bzw. [mm] b_i [/mm] den i-ten Spaltenvektor von A bzw. B.
Hinweis: Verwende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren. |
Hi,
um vorweg Missverständnisse zu vermeiden O(n):={A [mm] \in GL(n;\IR) |A^{-1} [/mm] = [mm] A^T [/mm] } (orthogonale Gruppe). Da unsere Tutorien erst nach Ostern beginnen, habe ich etwas Probleme mit den Aufgaben, da ich noch keine Beispiele habe.
Momentan bin ich bei dieser Aufgabe so weit:
Ich weiss: "Eine Matrix ist genau orthogonal, wenn die Spalten eine Orthonormalbasis bilden." -> Also Gram-Schmidt Anwenden.
Dabei gehe ich nun so vor, wie ich es bei wikipedia gefunden habe: http://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren
Zuerst nehme ich die Spalten von A und definiere:
[mm] v_1:=\vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 0}, v_2:=\vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 0}, v_3:=\vektor{5 \\ 1 \\ 3 \\ 0}, v_4:=\vektor{1 \\ 1 \\ -2 \\ 1}. [/mm] Gesucht sind nun die Spalten von [mm] B=(u_1,u_2,u_3,u_4)
[/mm]
Also: [mm] u_1:= \bruch{v_1}{||v_1||} [/mm] = [mm] \bruch{\vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 0}}{\wurzel{1²+2²+0²+0²}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}\vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] u'_2=v_2-u_1 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 0} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}<\vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 0}, \vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 0}> \cdot \bruch{1}{\wurzel{5}}\vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 0} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot \bruch{1}{\wurzel{5}}\vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
= [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 0} [/mm] - [mm] \bruch{2}{5} \cdot \vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{-\bruch{2}{5} \\ \bruch{1}{5} \\ 2 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 10 \\ 0}. [/mm] Nun: [mm] u_2:= \bruch{u'_2}{||u'_2||} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{105}}\vektor{-2 \\ 1 \\ 10 \\ 0}
[/mm]
Analog würde man nun auch [mm] u_3 [/mm] und [mm] u_4 [/mm] berechnen.
Sind meine Rechenschritte so ok?
Muss man zum Schluss noch zeigen, dass [mm] Span(a_1,...,a_i) [/mm] = [mm] Span(b_1,...,b_i) [/mm] gilt, oder ergibt sich das von selber?
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Zusätzliche Frage:
Im Skript gibt es auch Skalarprodukte z.B. <u, v>_A = [mm] u^T \cdot [/mm] A [mm] \cdot [/mm] v die so berechnet werden. Was sind das für Skalarprodukte und wann/wozu nimmt man die?
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:37 Sa 11.04.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Gegeben sei [mm]A=\pmat{1 & 0 & 5 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1} \in Mat(4,4;\IR).[/mm]
>
> Bestimme eine orthogonale Matrix B [mm]\in[/mm] O(4) derart, dass
> [mm]Span(a_1,...,a_i)[/mm] = [mm]Span(b_1,...,b_i)[/mm] für i=1,...,4 gilt.
> Hierbei bezeichne [mm]a_i[/mm] bzw. [mm]b_i[/mm] den i-ten Spaltenvektor von
> A bzw. B.
> Hinweis: Verwende das Schmidtsche
> Orthonormalisierungsverfahren.
> Hi,
> um vorweg Missverständnisse zu vermeiden [mm]O(n):= \{A \in GL(n;\IR) |A^{-1}[/mm]
> = [mm]A^T \} [/mm](orthogonale Gruppe). Da unsere Tutorien erst nach
> Ostern beginnen, habe ich etwas Probleme mit den Aufgaben,
> da ich noch keine Beispiele habe.
>
> Momentan bin ich bei dieser Aufgabe so weit:
>
> Ich weiss: "Eine Matrix ist genau orthogonal, wenn die
> Spalten eine Orthonormalbasis bilden." -> Also Gram-Schmidt
> Anwenden.
>
> Dabei gehe ich nun so vor, wie ich es bei wikipedia
> gefunden habe:
> http://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren
>
> Zuerst nehme ich die Spalten von A und definiere:
> [mm]v_1:=\vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 0}, v_2:=\vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 0}, v_3:=\vektor{5 \\ 1 \\ 3 \\ 0}, v_4:=\vektor{1 \\ 1 \\ -2 \\ 1}.[/mm]
> Gesucht sind nun die Spalten von [mm]B=(u_1,u_2,u_3,u_4)[/mm]
>
> Sind meine Rechenschritte so ok?
Ich hab es jetzt nicht nachgerechnet, aber einfach Gram-Schmidt anwenden ist der richtige Weg.
Was mir aufgefallen ist: Du darfst die Vektoren nicht umskalieren am Ende. Die müssen normalisiert in der Matrix stehen!
>
> Muss man zum Schluss noch zeigen, dass [mm]Span(a_1,...,a_i)[/mm] =
> [mm]Span(b_1,...,b_i)[/mm] gilt, oder ergibt sich das von selber?
Es ergibt dich von selbst; jedoch muss man es erst beweisen, dass es sich von selbst ergibt!
>
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>
> Zusätzliche Frage:
> Im Skript gibt es auch Skalarprodukte z.B. [mm]_A \ = \ u^T \cdot A \cdot v[/mm]
> die so berechnet werden. Was sind das für
> Skalarprodukte und wann/wozu nimmt man die?
>
Jeder Bilinearform (da fallen auch unter anderem die [mm] "' < * , * > "' [/mm] darunter) kann man eine Darstellungsmatrix zuordnen (die wird hierbei mit A bezeichnet). Dann kann man nämlich das Ergebnis der Bilinearform auch so [mm] "' u^T \cdot A \cdot v "' [/mm] ausrechnen (grob gesagt). Aber das kommt alles noch in LinAlg II.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Sa 11.04.2009 | | Autor: | erisve |
Und wie soll man beweisen , dass sich die Gleichheit der Spanne von selbst ergibt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Sa 11.04.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Und wie soll man beweisen , dass sich die Gleichheit der
> Spanne von selbst ergibt?
Ja eigentlich ist dies schon in dem Beweis bzw. der Aussage des Gram-Schmidt-Verfahrens schon enthalten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Sa 11.04.2009 | | Autor: | erisve |
und gleich noch eine Frage , muss man die Vektroen nicht bezüglich des Matrixskalarproduktes normieren? Das haben wir in unsere Übung nämlich so gemacht oder liegt das daran dass wir die Standardbasis als Ausgang hatten?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Sa 11.04.2009 | | Autor: | Merle23 |
> und gleich noch eine Frage , muss man die Vektroen nicht
> bezüglich des Matrixskalarproduktes normieren? Das haben
> wir in unsere Übung nämlich so gemacht oder liegt das daran
> dass wir die Standardbasis als Ausgang hatten?
Das versteh' ich gerade nicht.
Eine Matrix ist orthogonal, wenn ihre Spalten- (oder Zeilen-) vektoren eine ONB bilden. Und das ist hierbei bzgl. des Standardskalarproduktes gemeint.
Welches Matrixskalarprodukt meinst du überhaupt?
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