Orthogonale Projektion < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei $V = [mm] \IR^3$ [/mm] mit dem Standardskalarprodukt und sei $W$ der lineare Teilraum $W = [mm] \{\vektor{x\\y\\z} | x+3y-2z=0\}$. [/mm] Bestimme die orthogonale Projektion des Vektors $u = [mm] \vektor{2\\1\\3}$ [/mm] auf $W$. Bestimme auch den Abstand zwischen $u$ und $W$. |
Hallo,
im Großen und Ganzen denke ich, dass ich die Vorgehensweise kenne, nur ich bräuchte mal etwas Kontrolle. Teilweise macht es auf mich einen recht unübersichtlichen Eindruck.
Zunächst einmal schreibe ich den Untervektorraum $W$ etwas um, nämlich:
$W = [mm] \{\vektor{x\\y\\z} | x+3y-2z=0\} [/mm] = [mm] \{\vektor{x\\y\\z} | z = \bruch{1}{2}(x+3y)\} [/mm] = [mm] \{\vektor{x\\y\\\bruch{1}{2}x+\bruch{3}{2}y}| x,y \in \IR\} [/mm] = [mm] \{x\vektor{1\\0\\\bruch{1}{2}}+y\vektor{0\\1\\\bruch{3}{2}}|x,y \in \IR \} [/mm] = [mm] \{x\vektor{2\\0\\1}+y\vektor{0\\2\\3}|x,y \in \IR \} [/mm] $
Beim letzten Schritt multipliziere ich die beiden Vektoren jeweils mit $2$. Die zwei Vektoren [mm] $\{w_1,w_2\} [/mm] = [mm] \{\vektor{2\\0\\1},\vektor{0\\2\\3}\}$ [/mm] bilden eine Basis für $W$. Ich kann diese Vektoren auch noch normalisieren, indem ich durch ihre Länge teile:
[mm] $\{b_1,b_2\} [/mm] = [mm] \{\bruch{1}{\parallel w_1 \parallel}w_1,\bruch{1}{\parallel w_2 \parallel}w_2\} [/mm] = [mm] \{\bruch{1}{\wurzel{5}}\vektor{2\\0\\1}, \bruch{1}{\wurzel{13}}\vektor{0\\2\\3}\}$
[/mm]
Die orthogonale Projektion ist dann
$p = [mm] b_1+b_2 [/mm] = [mm] \bruch{7}{5}\vektor{2\\0\\1}+\bruch{11}{13}\vektor{0\\2\\3}=\vektor{14/5\\0\\7/5}+\vektor{0\\22/13\\33/13} [/mm] = [mm] \vektor{14/5\\22/13\\256/65}$
[/mm]
Der Abstand zwischen $u$ und $W$ müsste dann sein:
[mm] $\parallel [/mm] u-p [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel \vektor{2\\1\\2} [/mm] - [mm] \vektor{14/5\\22/13\\256/65} \parallel [/mm] = [mm] \parallel \vektor{-4/5\\-9/13\\-61/65} \parallel [/mm] = [mm] \wurzel{2}$
[/mm]
Vielleicht könnte hier mal jemand drübergucken. Ich könnte mir vorstellen, dass ich bei der Basiswahl vielleicht etwas falsch gemacht habe.
Liebe Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 Mi 04.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]V = \IR^3[/mm] mit dem Standardskalarprodukt und sei [mm]W[/mm] der
> lineare Teilraum [mm]W = \{\vektor{x\\y\\z} | x+3y-2z=0\}[/mm].
> Bestimme die orthogonale Projektion des Vektors [mm]u = \vektor{2\\1\\3}[/mm]
> auf [mm]W[/mm]. Bestimme auch den Abstand zwischen [mm]u[/mm] und [mm]W[/mm].
> Hallo,
>
> im Großen und Ganzen denke ich, dass ich die
> Vorgehensweise kenne, nur ich bräuchte mal etwas
> Kontrolle. Teilweise macht es auf mich einen recht
> unübersichtlichen Eindruck.
>
> Zunächst einmal schreibe ich den Untervektorraum [mm]W[/mm] etwas
> um, nämlich:
>
> [mm]W = \{\vektor{x\\y\\z} | x+3y-2z=0\} = \{\vektor{x\\y\\z} | z = \bruch{1}{2}(x+3y)\} = \{\vektor{x\\y\\\bruch{1}{2}x+\bruch{3}{2}y}| x,y \in \IR\} = \{x\vektor{1\\0\\\bruch{1}{2}}+y\vektor{0\\1\\\bruch{3}{2}}|x,y \in \IR \} = \{x\vektor{2\\0\\1}+y\vektor{0\\2\\3}|x,y \in \IR \}[/mm]
>
> Beim letzten Schritt multipliziere ich die beiden Vektoren
> jeweils mit [mm]2[/mm]. Die zwei Vektoren [mm]\{w_1,w_2\} = \{\vektor{2\\0\\1},\vektor{0\\2\\3}\}[/mm]
> bilden eine Basis für [mm]W[/mm]. Ich kann diese Vektoren auch noch
> normalisieren, indem ich durch ihre Länge teile:
>
> [mm]\{b_1,b_2\} = \{\bruch{1}{\parallel w_1 \parallel}w_1,\bruch{1}{\parallel w_2 \parallel}w_2\} = \{\bruch{1}{\wurzel{5}}\vektor{2\\0\\1}, \bruch{1}{\wurzel{13}}\vektor{0\\2\\3}\}[/mm]
>
> Die orthogonale Projektion ist dann
>
> [mm]p = b_1+b_2 = \bruch{7}{5}\vektor{2\\0\\1}+\bruch{11}{13}\vektor{0\\2\\3}=\vektor{14/5\\0\\7/5}+\vektor{0\\22/13\\33/13} = \vektor{14/5\\22/13\\256/65}[/mm]
>
> Der Abstand zwischen [mm]u[/mm] und [mm]W[/mm] müsste dann sein:
>
> [mm]\parallel u-p \parallel = \parallel \vektor{2\\1\\2} - \vektor{14/5\\22/13\\256/65} \parallel = \parallel \vektor{-4/5\\-9/13\\-61/65} \parallel = \wurzel{2}[/mm]
>
> Vielleicht könnte hier mal jemand drübergucken. Ich
> könnte mir vorstellen, dass ich bei der Basiswahl
> vielleicht etwas falsch gemacht habe.
Du hast alles richtig gemacht !
Edit: Mathepower hat mich darauf aufmerksam gemacht, dass [mm] B_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] nicht orthogonal sind. Das hatte ich übersehen !
FRED
>
> Liebe Grüße.
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 18:01 Mi 04.03.2015 | | Autor: | MathePower |
Hallo fred97,
> > Sei [mm]V = \IR^3[/mm] mit dem Standardskalarprodukt und sei [mm]W[/mm] der
> > lineare Teilraum [mm]W = \{\vektor{x\\y\\z} | x+3y-2z=0\}[/mm].
> > Bestimme die orthogonale Projektion des Vektors [mm]u = \vektor{2\\1\\3}[/mm]
> > auf [mm]W[/mm]. Bestimme auch den Abstand zwischen [mm]u[/mm] und [mm]W[/mm].
> > Hallo,
> >
> > im Großen und Ganzen denke ich, dass ich die
> > Vorgehensweise kenne, nur ich bräuchte mal etwas
> > Kontrolle. Teilweise macht es auf mich einen recht
> > unübersichtlichen Eindruck.
> >
> > Zunächst einmal schreibe ich den Untervektorraum [mm]W[/mm] etwas
> > um, nämlich:
> >
> > [mm]W = \{\vektor{x\\y\\z} | x+3y-2z=0\} = \{\vektor{x\\y\\z} | z = \bruch{1}{2}(x+3y)\} = \{\vektor{x\\y\\\bruch{1}{2}x+\bruch{3}{2}y}| x,y \in \IR\} = \{x\vektor{1\\0\\\bruch{1}{2}}+y\vektor{0\\1\\\bruch{3}{2}}|x,y \in \IR \} = \{x\vektor{2\\0\\1}+y\vektor{0\\2\\3}|x,y \in \IR \}[/mm]
>
> >
> > Beim letzten Schritt multipliziere ich die beiden Vektoren
> > jeweils mit [mm]2[/mm]. Die zwei Vektoren [mm]\{w_1,w_2\} = \{\vektor{2\\0\\1},\vektor{0\\2\\3}\}[/mm]
> > bilden eine Basis für [mm]W[/mm]. Ich kann diese Vektoren auch noch
> > normalisieren, indem ich durch ihre Länge teile:
> >
> > [mm]\{b_1,b_2\} = \{\bruch{1}{\parallel w_1 \parallel}w_1,\bruch{1}{\parallel w_2 \parallel}w_2\} = \{\bruch{1}{\wurzel{5}}\vektor{2\\0\\1}, \bruch{1}{\wurzel{13}}\vektor{0\\2\\3}\}[/mm]
>
> >
> > Die orthogonale Projektion ist dann
> >
> > [mm]p = b_1+b_2 = \bruch{7}{5}\vektor{2\\0\\1}+\bruch{11}{13}\vektor{0\\2\\3}=\vektor{14/5\\0\\7/5}+\vektor{0\\22/13\\33/13} = \vektor{14/5\\22/13\\256/65}[/mm]
>
Diese Formel für die orthogonale Projektion gilt nur dann,
wenn die Basisvektoren
- vom Betrag 1
- orthogonal zueinander
sind.
Die Basisvektoren haben zwar den Betrag 1,
sind aber nicht orthohonal zueinander.
> >
> > Der Abstand zwischen [mm]u[/mm] und [mm]W[/mm] müsste dann sein:
> >
> > [mm]\parallel u-p \parallel = \parallel \vektor{2\\1\\2} - \vektor{14/5\\22/13\\256/65} \parallel = \parallel \vektor{-4/5\\-9/13\\-61/65} \parallel = \wurzel{2}[/mm]
>
> >
> > Vielleicht könnte hier mal jemand drübergucken. Ich
> > könnte mir vorstellen, dass ich bei der Basiswahl
> > vielleicht etwas falsch gemacht habe.
>
> Du hast alles richtig gemacht !
>
>
> FRED
>
>
> >
> > Liebe Grüße.
>
Gruss
MathePower
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Hallo,
ich dachte mir schon, dass irgendwas mit der Basis nicht stimmte. Kann ich jetzt z.B. aus der Standardbasis für [mm] $\IR^3$ [/mm] eine Orthogonalbasis erstellen?
Liebe Grüße.
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Hallo MeMeansMe,
> Hallo,
>
> ich dachte mir schon, dass irgendwas mit der Basis nicht
> stimmte. Kann ich jetzt z.B. aus der Standardbasis für
> [mm]\IR^3[/mm] eine Orthogonalbasis erstellen?
>
Aus der gewählten Basis kannst Du natürlich
auch eine Orthogonalbasis erstellen.
> Liebe Grüße.
>
Gruss
MathePower
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Hallo,
> Aus der gewählten Basis kannst Du natürlich
> auch eine Orthogonalbasis erstellen.
>
Dann werde ich das mal versuchen.
Also, eine Basis für den Untervektorraum $W = [mm] \{\vektor{x\\y\\z}|x+3y-2z=0\} [/mm] = [mm] \{\vektor{x\\y\\\bruch{1}{2}x+\bruch{3}{2}y}|x, y \in \IR\}$ [/mm] ist $B = [mm] \{b_1, b_2\} [/mm] = [mm] \{\vektor{2\\0\\1}, \vektor{0\\2\\3}\}$. [/mm] Wir werden diese Basis nun orthogonalisieren und eine Orthogonalbasis $O = [mm] \{o_1, 0_2\}$ [/mm] erstellen. Dafür wählen wir zunächst
[mm] $o_1=b_1=\vektor{2\\0\\1}$
[/mm]
[mm] $o_2$ [/mm] ist dann dementsprechend:
[mm] $o_2 [/mm] = [mm] b_2 [/mm] - [mm] \bruch{}{\parallel o_1 \parallel^2}o_1 [/mm] = [mm] \vektor{0\\2\\3}-\bruch{3}{5}\vektor{2\\0\\1} [/mm] = [mm] \vektor{-6/5\\2\\12/5}$
[/mm]
Die Längen von [mm] $o_1$ [/mm] und [mm] $o_2$ [/mm] sind:
[mm] $\parallel o_1 \parallel [/mm] = [mm] \wurzel{5}$
[/mm]
[mm] $\parallel o_2 \parallel [/mm] = [mm] \bruch{2\wurzel{70}}{5}$
[/mm]
Wir normieren [mm] $o_1$ [/mm] und [mm] $o_2$ [/mm] also, indem wir durch die Längen teilen, und erhalten die Orthonormalbasis $N = [mm] \{n_1, n_2\}$ [/mm] mit
[mm] $n_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}\vektor{2\\0\\1}$
[/mm]
[mm] $n_2 [/mm] = [mm] \bruch{5}{2\wurzel{70}}\vektor{-6/5\\2\\12/5}$
[/mm]
Jetzt berechnen wir die Projektion $p$ mit
$p = <u, [mm] n_1>n_1+n_2 [/mm] = [mm] \bruch{7\wurzel{5}}{5}\vektor{2\\0\\}+\bruch{17}{28}\vektor{-6/5\\2\\12/5} [/mm] = [mm] \vektor{(-51+196\wurzel{5})/70\\17/14\\(51+49\wurzel{5})/35}$,
[/mm]
wobei $u = [mm] \vektor{2\\1\\3}$.
[/mm]
Der Abstand zwischen $u$ und $W$ ist dann
[mm] $\parallel [/mm] u-p [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel \vektor{2-(-51+196\wurzel{5})/70\\-3/14\\3-(51+49\wurzel{5})/35} \parallel [/mm] = 3.8787$
Mich verwirren die unübersichtlichen Ergebnisse, und darum fände ich es super, wenn hier jemand mal drüberschauen könnte.
Liebe Grüße :)
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Hallo MeMeansMe,
> Hallo,
>
> > Aus der gewählten Basis kannst Du natürlich
> > auch eine Orthogonalbasis erstellen.
> >
>
> Dann werde ich das mal versuchen.
>
> Also, eine Basis für den Untervektorraum [mm]W = \{\vektor{x\\y\\z}|x+3y-2z=0\} = \{\vektor{x\\y\\\bruch{1}{2}x+\bruch{3}{2}y}|x, y \in \IR\}[/mm]
> ist [mm]B = \{b_1, b_2\} = \{\vektor{2\\0\\1}, \vektor{0\\2\\3}\}[/mm].
> Wir werden diese Basis nun orthogonalisieren und eine
> Orthogonalbasis [mm]O = \{o_1, 0_2\}[/mm] erstellen. Dafür wählen
> wir zunächst
>
> [mm]o_1=b_1=\vektor{2\\0\\1}[/mm]
>
> [mm]o_2[/mm] ist dann dementsprechend:
>
> [mm]o_2 = b_2 - \bruch{}{\parallel o_1 \parallel^2}o_1 = \vektor{0\\2\\3}-\bruch{3}{5}\vektor{2\\0\\1} = \vektor{-6/5\\2\\12/5}[/mm]
>
> Die Längen von [mm]o_1[/mm] und [mm]o_2[/mm] sind:
>
> [mm]\parallel o_1 \parallel = \wurzel{5}[/mm]
> [mm]\parallel o_2 \parallel = \bruch{2\wurzel{70}}{5}[/mm]
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> Wir normieren [mm]o_1[/mm] und [mm]o_2[/mm] also, indem wir durch die Längen
> teilen, und erhalten die Orthonormalbasis [mm]N = \{n_1, n_2\}[/mm]
> mit
>
> [mm]n_1 = \bruch{1}{\wurzel{5}}\vektor{2\\0\\1}[/mm]
> [mm]n_2 = \bruch{5}{2\wurzel{70}}\vektor{-6/5\\2\\12/5}[/mm]
>
Bis hierhin ist alles ok.
> Jetzt berechnen wir die Projektion [mm]p[/mm] mit
>
> [mm]p = n_1+n_2 = \bruch{7\wurzel{5}}{5}\vektor{2\\0\\}+\bruch{17}{28}\vektor{-6/5\\2\\12/5} = \vektor{(-51+196\wurzel{5})/70\\17/14\\(51+49\wurzel{5})/35}[/mm],
>
> wobei [mm]u = \vektor{2\\1\\3}[/mm].
>
> Der Abstand zwischen [mm]u[/mm] und [mm]W[/mm] ist dann
>
> [mm]\parallel u-p \parallel = \parallel \vektor{2-(-51+196\wurzel{5})/70\\-3/14\\3-(51+49\wurzel{5})/35} \parallel = 3.8787[/mm]
>
> Mich verwirren die unübersichtlichen Ergebnisse, und darum
> fände ich es super, wenn hier jemand mal drüberschauen
> könnte.
>
Die Projektion p ist nochmal nachzurechnen.
> Liebe Grüße :)
Gruss
MathePower
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Hallo,
> Die Projektion p ist nochmal nachzurechnen.
Ok, noch mal zur Erinnerung: $u = [mm] \vektor{2\\1\\3}$, $n_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}\vektor{2\\0\\1}$, $n_2 [/mm] = [mm] \bruch{5}{2\wurzel{70}}\vektor{-6/5\\2\\12/5}$.
[/mm]
Die Projektion ist dann
$p = [mm] n_1+n_2 [/mm] = [mm] \bruch{7}{5}\vektor{2\\0\\1}+\bruch{17}{28}\vektor{-6/5\\2\\12/5} [/mm] = [mm] \vektor{29/14\\17/14\\20/7}$
[/mm]
Und der Abstand zwischen $u$ und dem Unterraum $W$ schließlich:
[mm] $\parallel [/mm] u-p [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel \vektor{-1/14\\-3/14\\1/7} \parallel [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{14}}{14}$
[/mm]
So besser?
Liebe Grüße.
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Hallo MeMeansMe,
> Hallo,
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> > Die Projektion p ist nochmal nachzurechnen.
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> Ok, noch mal zur Erinnerung: [mm]u = \vektor{2\\1\\3}[/mm], [mm]n_1 = \bruch{1}{\wurzel{5}}\vektor{2\\0\\1}[/mm],
> [mm]n_2 = \bruch{5}{2\wurzel{70}}\vektor{-6/5\\2\\12/5}[/mm].
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> Die Projektion ist dann
>
> [mm]p = n_1+n_2 = \bruch{7}{5}\vektor{2\\0\\1}+\bruch{17}{28}\vektor{-6/5\\2\\12/5} = \vektor{29/14\\17/14\\20/7}[/mm]
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> Und der Abstand zwischen [mm]u[/mm] und dem Unterraum [mm]W[/mm]
> schließlich:
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> [mm]\parallel u-p \parallel = \parallel \vektor{-1/14\\-3/14\\1/7} \parallel = \bruch{\wurzel{14}}{14}[/mm]
>
> So besser?
>
Viel besser. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Liebe Grüße.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:34 Do 12.03.2015 | | Autor: | MeMeansMe |
Super, ich danke dir :)
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