Orthogonale Projektion < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:16 So 11.12.2011 | | Autor: | kalifat |
| Aufgabe | V...euklidischer Raum
U...Teilraum von V
Für [mm] v\in{V} [/mm] sei [mm] v=v_U+v_{U\perp} [/mm] und der lineare Operator [mm] \phi [/mm] sei definiert durch [mm] \phi(v)=v_U-v_{U\perp} [/mm] |
Jetzt würde ich gerne zu Beginn einmal zeigen das [mm] \phi [/mm] orthogonal und selbstadjungiert ist.
Die Abbildund heißt ja orthgonal wenn [mm] <\phi(v),\phi(w)>=, [/mm] also
[mm] =
[/mm]
Wie kann ich das am besten berechnen? Bei diesem Skalarprodukt handelt es sich um das Standardskalarprodukt.
Zu zeigen das die Abbildung selbstadjungiert ist, muss folgende Gleichheit gelten
[mm] <\phi(v),w>= [/mm] Da stehe ich vor dem gleichen Problem.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:34 So 11.12.2011 | | Autor: | kalifat |
Jemand eine Idee?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:16 So 11.12.2011 | | Autor: | kalifat |
Ich habe es jetzt noch einmal versucht, scheitere aber an dem inneren Produkt...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:21 Mo 12.12.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> V...euklidischer Raum
> U...Teilraum von V
>
> Für [mm]v\in{V}[/mm] sei [mm]v=v_U+v_{U\perp}[/mm] und der lineare Operator
> [mm]\phi[/mm] sei definiert durch [mm]\phi(v)=v_U-v_{U\perp}[/mm]
> Jetzt würde ich gerne zu Beginn einmal zeigen das [mm]\phi[/mm]
> orthogonal und selbstadjungiert ist.
>
> Die Abbildund heißt ja orthgonal wenn
> [mm]<\phi(v),\phi(w)>=,[/mm] also
>
> [mm]=[/mm]
>
> Wie kann ich das am besten berechnen? Bei diesem
> Skalarprodukt handelt es sich um das
> Standardskalarprodukt.
Das Skalarprodukt ist linear in beiden Argumenten, also kannst du schreiben:
[mm] $ [/mm] = [mm] - [/mm] = [mm] --+$
[/mm]
Die beiden mittleren Skalarprodukte sind 0, da die Vektoren aus $U$ und [mm] $U^\perp$ [/mm] orthogonal zueinander sind. Also ergibt sich:
[mm] $+$
[/mm]
Rechne die andere Seite der Gleichung analog aus, dann kommt das gleiche raus.
> Zu zeigen das die Abbildung selbstadjungiert ist, muss
> folgende Gleichheit gelten
>
> [mm]<\phi(v),w>=[/mm] Da stehe ich vor dem gleichen
> Problem.
Das sollte genauso gehen. Nutze wieder die Bilinearität aus.
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Mo 12.12.2011 | | Autor: | kalifat |
Danke, konnte alles zeigen. Ich habe jetzt gerade probiert ein Beispiel zu berechnen, und zwar ang. [mm] V=\mathbb{R}^3 U=[\vektor{1 \\ 0 \\ 1}]. [/mm] Wie schauen hier die REechenshritte aus wenn ich die Matrix von [mm] \phi [/mm] bzgl. der Standardbasis berechne?
Skalarprodukt ist wieder das Standardskalarprodukt.
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> Danke, konnte alles zeigen. Ich habe jetzt gerade probiert
> ein Beispiel zu berechnen, und zwar ang. [mm]V=\mathbb{R}^3\qquad U=[\vektor{1 \\ 0 \\ 1}].[/mm]
> Wie schauen hier die Rechenschritte aus wenn ich die Matrix
> von [mm]\phi[/mm] bzgl. der Standardbasis berechne?
>
> Skalarprodukt ist wieder das Standardskalarprodukt.
Hallo kalifat,
das kann man sich sogar anschaulich ganz leicht klar
machen. U ist geometrisch gesehen die x-z-Ebene im [mm] \IR^3 [/mm] .
Für [mm] v=(x|y|z)\in\IR^3 [/mm] ist [mm] v_U=(x|0|z) [/mm] , [mm] v_{U\perp}=(0|y|0) [/mm] und [mm] \phi(v)=(x|-y|z)
[/mm]
Die Abbildung [mm] \phi [/mm] ordnet also dem Punkt (x|y|z) den Punkt
(x|-y|z) in [mm] V=\IR^3 [/mm] zu. Es handelt sich somit bei [mm] \phi [/mm] um die
Ebenenspiegelung an der x-z-Ebene.
Damit habe ich dir jetzt zwar keine Rechenschritte in Matrix-
form gezeigt, aber du kannst sicher alles kontrollieren, was
du rechnest.
LG Al-Chw.
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