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| Aufgabe | Gegeben sei ein end. dim. euklidischer (unitärer) Raum V mit Skalarprodukt s. Wie betrachten einen Unterraum U und [mm] U^\perp:=(v \in [/mm] V: s(v,u)=0 [mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] U) die Menge aller zu U orthogonalen Vektoren.
Zeigen Sie, dass [mm] U^\perp [/mm] ein Untervektorraum von V ist. |
Hi kann mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabe helfen?
Kann es sein, dass man hier einfach nur die Untervektorraum axiome nachrechnen muss? also denke ich zumindest, nur ich weiß nicht genau wie. kann es ja mal probieren:
U1) 0 [mm] \in U^\perp [/mm] , d.h. [mm] U^\perp\not=() [/mm] (soll heißen nicht leer!)
U2) jetzt wirds schon schwieriger, hier weiß ich nicht genau, wie ich das zeigen kann. kann ich einfach sagen:
[mm] \forall [/mm] u,w [mm] \in [/mm] U gilt: s(v,u) + s(v,w) = s(v,u+w)=0, d.h. u+w [mm] \in [/mm] U.
U3) und zuletzt: sei [mm] \lambda \in \IR [/mm] dann gilt:
[mm] s(v,\lambda *u)=\lambda* [/mm] s(v,u)=0, d.h. [mm] \lambda [/mm] *u [mm] \in [/mm] U
ist das so alles korrekt??
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:01 Do 24.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben sei ein end. dim. euklidischer (unitärer) Raum V
> mit Skalarprodukt s. Wie betrachten einen Unterraum U und
> [mm]U^\perp:=(v \in[/mm] V: s(v,u)=0 [mm]\forall[/mm] u [mm]\in[/mm] U) die Menge
> aller zu U orthogonalen Vektoren.
> Zeigen Sie, dass [mm]U^\perp[/mm] ein Untervektorraum von V ist.
> Hi kann mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabe helfen?
>
> Kann es sein, dass man hier einfach nur die Untervektorraum
> axiome nachrechnen muss?
ja, weil Du ja doch weißt, dass [mm] $U^\perp \subset [/mm] V$ (das ist nach Definitionem von [mm] $U^\perp$ [/mm] klar) und $V$ wird hier als Vektorraum vorausgesetzt. Und daher gilt hier:
Genau dann, wenn [mm] $U^\perp$ [/mm] ein Vektorraum ist, ist [mm] $U^\perp$ [/mm] ein Unterraum von $V$.
> also denke ich zumindest, nur ich
> weiß nicht genau wie. kann es ja mal probieren:
>
> U1) 0 [mm]\in U^\perp[/mm] , d.h. [mm]U^\perp\not=()[/mm] (soll heißen nicht
> leer!)
Das Symbol dafür ist [mm] $\emptyset \mbox{ oder }\{\}$ [/mm] (klick' es einfach mal an für den Quelltext)
Und warum ist $0 [mm] \in U^\perp$? [/mm] Weil klar ist:
1.) $0 [mm] \in [/mm] V$
2.) $s(0,u)=$? [mm] $\forall [/mm] u [mm] \in [/mm] U$
(Was gilt hier für $s(0,u)$? Wie begründest Du das?)
> U2) jetzt wirds schon schwieriger, hier weiß ich nicht
> genau, wie ich das zeigen kann. kann ich einfach sagen:
>
> [mm]\forall[/mm] u,w [mm]\in[/mm] U gilt: s(v,u) + s(v,w) = s(v,u+w)=0, d.h.
> u+w [mm]\in[/mm] U.
Nein, hier ist Dir wohl die Logik nicht ganz klar. Du hast zu zeigen (ich nenne die Vektoren aus [mm] $U^\perp$ [/mm] jetzt mal extra "anders"):
Sind $a,b [mm] \in \green{U^\perp}$, [/mm] so ist auch $(a+b) [mm] \in U^\perp$.
[/mm]
Nehmen wir uns also $a,b [mm] \in U^\perp$ [/mm] her. Dann:
1.) Wegen $a [mm] \in U^\perp$ [/mm] gilt: $a [mm] \in [/mm] V$ und $s(a,u)=0$ für alle $u [mm] \in [/mm] U$.
2.) Wegen $b [mm] \in U^\perp$ [/mm] gilt: $b [mm] \in [/mm] V$ und $s(b,u)=0$ für alle $u [mm] \in [/mm] U$.
Zu zeigen ist nun:
$(a+b) [mm] \in U^\perp$. [/mm] D.h., wir haben zu begründen: $(a+b) [mm] \in [/mm] V$ und für alle $u [mm] \in [/mm] U$ gilt:
$s(a+b,u)=0$
Und das folgt nun so, wie Du es angedeutet hast, nur "logisch richtig und formal sauber":
Wegen 1.) und 2.) ist schonmal klar, dass, wenn $a [mm] \in U^\perp$ [/mm] und $b [mm] \in U^\perp$, [/mm] dann ist insbesondere $a [mm] \in [/mm] V$ und $b [mm] \in [/mm] V$ und weil $V$ ein Vektorraum ist, gilt damit auch $(a+b) [mm] \in [/mm] V$.
Um nun $(a+b) [mm] \in U^\perp$ [/mm] festzustellen, müssen wir noch zeigen, dass für jedes $u [mm] \in [/mm] U$ nun auch $s(a+b,u)=0$ gilt:
Sei dazu $u [mm] \in [/mm] U$ beliebig, aber fest. Dann gilt, weil $s$ als Skalarprodukt bilinear ist:
$s(a+b,u)=s(a,u)+s(b,u)$
Wegen 1.) ist aber $s(a,u)=0$ und wegen 2.) ist $s(b,u)=0$, und damit
$s(a+b,u)=s(a,u)+s(b,u)=0+0=0$
Weil $u [mm] \in [/mm] U$ beliebig war, folgt:
$s(a+b,u)=0$ für alle $u [mm] \in [/mm] U$.
Also:
Wir haben gezeigt:
$a,b [mm] \in U^\perp$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $(a+b) [mm] \in [/mm] V$ mit $s(a+b,u)=0$ für alle $u [mm] \in [/mm] U$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $(a+b) [mm] \in U^\perp$
[/mm]
> U3) und zuletzt: sei [mm]\lambda \in \IR[/mm] dann gilt:
>
> [mm]s(v,\lambda *u)=\lambda*[/mm] s(v,u)=0, d.h. [mm]\lambda[/mm] *u [mm]\in[/mm] U
Auch hier:
Die "Logik" ist falsch herum. Du musst ein $a [mm] \in U^\perp$ [/mm] hernehmen und dann zeigen, dass dann auch [mm] $(\lambda*a) \in U^\perp$ [/mm] für alle [mm] $\lambda \in \IR$ [/mm] gilt.
Also:
Wenn $a [mm] \in U^\perp$, [/mm] warum gelten dann:
1.) [mm] $(\lambda [/mm] *a) [mm] \in [/mm] V$ und
2.) [mm] $s(\lambda*a,u)=0$ [/mm] für alle $u [mm] \in [/mm] U$
Die Begründungen sind im Wesentlichen die gleichen, wie Deine (es folgt nach Definitionem von [mm] $U^\perp$ [/mm] mit der Bilinearität von $s$), aber bei Dir ist der "logische Aufbau" ziemlich chaotisch bzw. auch total falsch. Siehst Du das?
Nur mal zur Logik:
[mm] $U^\perp=\{v \in V: s(v,u)=0 \;\;\forall u \in U\}$
[/mm]
Was bedeutet das? D.h., [mm] $U^\perp$ [/mm] ist genau die Menge aller $v [mm] \in [/mm] V$, so dass $s(v,u)=0$ für alle $u [mm] \in [/mm] U$ gilt (das ist Dir klar  ).
Was heißt das? Das heißt:
Wenn ich ein $c [mm] \in U^\perp$ [/mm] hernehme, so weiß ich, dass das $c$ die folgenden Eigenschaften hat:
$c [mm] \in [/mm] V$ und $s(c,u)=0$ für alle $u [mm] \in [/mm] U$.
Andererseits, um zu prüfen, ob ein Element $d$ erfüllt, dass $d [mm] \in U^\perp$:
[/mm]
Dort habe ich zu prüfen:
Gilt sowohl $d [mm] \in [/mm] V$ als auch: $s(d,u)=0$ für alle $u [mm] \in [/mm] U$? Wenn ich den Nachweis erbracht habe, dass diese beiden Bedingungen gelten, dann habe ich den Nachweis erbracht, dass $d [mm] \in U^\perp$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:07 Do 24.04.2008 | | Autor: | jaruleking |
hi, ja vielen dank. jetzt habe ich es einigermaßen maßen. vor allem sehe ich aber meine fehler 
ich hatte es ja komplett falsch rum gemacht, aber du hast es mir ja netter weise sehr gut erklärt, jetzt weiß ich auch, wie man mit sowas umgeht.
gruß
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