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| Aufgabe | Hallo, ich möchte noch eine Frage stellen. Ich hoffe jemand kann mir helfen.
Geb. [mm] v_1,...,v_m [/mm] Basis von U. Sei [mm] V=U^{\perp}.
[/mm]
Wie kann ich prüfen, dass ein [mm] x_k [/mm] nicht in V liegt. d.h. nur in U liegt.
O.K. ich könnte die Basis von V bestimmen und dann prüfen [mm] V^T*x_k=0.
[/mm]
geht es irgendwie noch anders? |
Danke
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Wenn wir der annehmen dürfen, dass die Basisvektoren [mm]\vec{v}_1,\ldots,\vec{v}_m[/mm] orthonormiert sind (was aber in Deinem Fall vermutlich nicht der Fall ist), dann gilt zum Beispiel
[mm]\vec{x}\in U \Leftrightarrow \vec{x}-\sum_{k=1}^m (\vec{x}\cdot \vec{v}_k)\vec{v}_k=\vec{0}[/mm]
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| Aufgabe | Hi danke, das ist schon sehr hilfreich. Die Vektoren sind auch orthonormal, es sind die Vektoren aus einer SVD-Zerlegung, bzw. später werden es die Vektoren aus dem Krylov-Unterraum sein. Gibt es denn für orthonormale Basisvektoren noch andere Möglichkeiten?
Das heißt ich könnte das ganze auch so umschreiben: [mm] (I-VV^T)x=0?
[/mm]
Die Frage ist nun, was ist NUMERISCH besser: diese Vorgehensweise oder doch die Basis von dem senkrechten Unterraum zu bestimmen und dann zu prüfen
ob der Vektor [mm] x_k [/mm] keine Komponenten in diese Richtungen enthält? |
Aber danke schon mal für die bisherige Hilfe 
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> Hi danke, das ist schon sehr hilfreich. Die Vektoren sind
> auch orthonormal, es sind die Vektoren aus einer
> SVD-Zerlegung, bzw. später werden es die Vektoren aus dem
> Krylov-Unterraum sein. Gibt es denn für orthonormale
> Basisvektoren noch andere Möglichkeiten?
>
> Das heißt ich könnte das ganze auch so umschreiben:
> [mm](I-VV^T)x=0?[/mm]
>
> Die Frage ist nun, was ist NUMERISCH besser: diese
> Vorgehensweise oder doch die Basis von dem senkrechten
> Unterraum zu bestimmen und dann zu prüfen
> ob der Vektor [mm]x_k[/mm] keine Komponenten in diese Richtungen
> enthält?
Ich würde mal, nur über den Daumen gepeilt, annehmen, dass in dem Falle, dass die Dimension von [mm]U[/mm] im Vergleich zum Gesamtraum klein ist, dieser Weg günstiger ist, als der Weg über die Bestimmung einer Basis des orthogonalen Komplements von [mm]U[/mm].
Ich werde aber nicht versuchen, eine ernsthafte Analyse der numerischen Komplexität der beiden Fälle zu machen: dafür bin ich zur Zeit einfach nicht genügend nahe an der Numerik dran. Sicher kann Dir ein anderes Mitglied des Forums in dieser Frage besser helfen: ich lasse es also bei dieser Art von "off-hand reply" bewenden...
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Wenn [mm]x_k[/mm] in U liegt, dann lässt es sich als Linearkombination der Basisvektoren darstellen. Du kannst also ein lineares Gleichungssystem aufstellen. Hat es eine eindeutige Lösung, ist deine Frage positiv beantwortet.
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