Orthogonales Komplement < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:07 Do 24.11.2011 | | Autor: | kalifat |
| Aufgabe | Man bestimme das orthogonale Komplement [mm] M^\perp [/mm] von
(1) [mm] M=\{(x_1,x_2,x_3)| x_1-x_2+x_3=0\}
[/mm]
(2) [mm] M=\{(a+b,a-b,a,b)\} [/mm] |
Ich habe mir überlegt zuerst eine Basis der Menge zu bestimmen.
Beispielsweise wäre ja [mm] [\vektor{1 \\ 0 \\ -1},\vektor{0 \\ 1 \\ 1}]. [/mm] Jetzt suche ich mir noch einen dritten linear unabhängigen Vektor, schreibe alle 3 in eine Matrix und bestimme den Kern.
Wenn ich jedoch die Matrix [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1} [/mm] habe, auf reduzierte ZSF bringe habe ich [mm] x_1=x_2=x_3=0, [/mm] was ja offensichtlich nicht das orthogonale Komplement ist.
Ist meine Lösungsidee richtig oder muss ich noch etwas anderes berücksichitgen?
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> Man bestimme das orthogonale Komplement [mm]M^\perp[/mm] von
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> (1) [mm]M=\{(x_1,x_2,x_3)| x_1-x_2+x_3=0\}[/mm]
> (2)
> [mm]M=\{(a+b,a-b,a,b)\}[/mm]
> Ich habe mir überlegt zuerst eine Basis der Menge zu
> bestimmen.
>
> Beispielsweise wäre ja [mm][\vektor{1 \\
0 \\
-1},\vektor{0 \\
1 \\
1}].[/mm]
Hallo,
bis hier ist's ganz nett.
Der Rest dessen, was Du tust, kann nicht funktionieren.
Was gilt für die Elemente x des orthogonalen Komplements? Sie sind orthogonal zu Deinen beiden Vektoren. (Skalarprodukt).
Daraus erhältst Du ein GS, der Lösungsraum ist das orthogonale Komplement.
Gruß v. Angela
> Jetzt suche ich mir noch einen dritten linear unabhängigen
> Vektor, schreibe alle 3 in eine Matrix und bestimme den
> Kern.
>
> Wenn ich jedoch die Matrix [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
-1 & 1 & 1}[/mm]
> habe, auf reduzierte ZSF bringe habe ich [mm]x_1=x_2=x_3=0,[/mm] was
> ja offensichtlich nicht das orthogonale Komplement ist.
>
> Ist meine Lösungsidee richtig oder muss ich noch etwas
> anderes berücksichitgen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 Fr 25.11.2011 | | Autor: | kalifat |
Für Elemente der Menge [mm] M^\perp [/mm] gilt das dass innere Produkt (...|...)=0 Was genau kommt da jedoch hinein?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:22 Fr 25.11.2011 | | Autor: | Stoecki |
sei [mm] \vektor {x\\y\\z} [/mm] der unbekannte basisvektor des orthogonalen komplements. dann muss dieser wie der name schon sagt orthogonal zu den anderen beiden basisvektoren sein. ergo gilt:
< [mm] \vektor {1\\0\\-1}, \vektor {x\\y\\z} [/mm] > = 0 und < [mm] \vektor {0\\1\\1}, \vektor {x\\y\\z} [/mm] > = 0
das gibt dir einen bis auf die länge eindeutigen vektor
gruß bernhard
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Fr 25.11.2011 | | Autor: | kalifat |
Danke für die Antwort, ich habe dann also folgendes Gleichungssystem
I: x-z=0
II: y+z=0
=> x=y+2z Setze y=s und z=t
[mm] M^\perp=\{\vektor{s+2t \\ s \\ t}|s,t \in\mathbb{R}\} [/mm] Kann das stimmen?
Bei der zweiten Menge [mm] A=M=\{(a+b,a-b,a,b)\} [/mm] bin ich ein wenig ratlos, da hier keine Bedingung angegeben wurde. Bei der ersten Menge war ja [mm] x_1-x_2+x_3=0 [/mm] Wie finde ich hier dann am besten eine Basis?
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> Danke für die Antwort, ich habe dann also folgendes
> Gleichungssystem
>
> I: x-z=0
> II: y+z=0
Hallo,
ja, genau.
Also ist x=z und y=-z.
mit z=t bekommt man ...
> => x=y+2z
Du darfst nicht eine Gleichung isoliert betrachten.
Immer das ganze Gleichungssystem anschauen. Dieses hat den Rang 2.
>
> => x=y+2z Setze y=s und z=t
>
> [mm]M^\perp=\{\vektor{s+2t \\
s \\
t}|s,t \in\mathbb{R}\}[/mm] Kann
> das stimmen?
Nein. Aus Dimensionsgründen geht das nicht.
Die Basen von M und [mm] M^{\perp} [/mm] können vereinigt höchstens drei Elemente haben.
>
> Bei der zweiten Menge [mm]A=M=\{(a+b,a-b,a,b)\}[/mm] bin ich ein
> wenig ratlos, da hier keine Bedingung angegeben wurde.
Ich denke mal, es ist so gemeint: [mm] M:=\{(a+b,a-b,a,b)| a,b\in \IR\}.
[/mm]
Bestimme ein Erzeugendensystem dieser Menge.
Aus welchen Vektoren kannst Du Vektoren, die von der Machart der Vektoren in dieser Menge sind, erzeugen?
Gruß v. Angela
> Bei
> der ersten Menge war ja [mm]x_1-x_2+x_3=0[/mm] Wie finde ich hier
> dann am besten eine Basis?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Sa 26.11.2011 | | Autor: | kalifat |
also für x=z, y=-z und z=t erhält man als Lösungsvektor [mm] \vektor{t \\ -t \\ t}. [/mm] Wie schaut jetzt nun [mm] M^\perp [/mm] aus?
Zu der zweiten Menge: Ich kann doch beliebige Vektoren a und b nehmen und aus diesen die Menge [mm] \{(a+b,a-b,a,b)| a,b\in \IR\} [/mm] erzeugen, sofern jeder Vektor durch mindestens eine Linearkombination darstellbar ist.
Beispielsweise: [mm] [\vektor{1 \\ 0\\ 0\\0},\vektor{0 \\ 1\\ 0\\0},\vektor{0\\ 0\\ 1\\0}]
[/mm]
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> also für x=z, y=-z und z=t erhält man als Lösungsvektor
> [mm]\vektor{t \\
-t \\
t}.[/mm] Wie schaut jetzt nun [mm]M^\perp[/mm] aus?
Hallo,
in [mm] M^{\perp} [/mm] sind alle vektoren der Bauart [mm] x=t*\vektor{1\\-1\\1}.
[/mm]
Dieser Vektor ist eine Basis von [mm] M^{\perp}, [/mm] und [mm] M^{\perp} [/mm] ist die lineare Hülle davon.
>
> Zu der zweiten Menge: Ich kann doch beliebige Vektoren a
> und b
???
> nehmen und aus diesen die Menge M':= [mm]\{(a+b,a-b,a,b)| a,b\in \IR\}[/mm]
> erzeugen, sofern jeder Vektor durch mindestens eine
> Linearkombination darstellbar ist.
> Beispielsweise: [mm][\vektor{1 \\
0\\
0\\
0},\vektor{0 \\
1\\
0\\
0},\vektor{0\\
0\\
1\\
0}][/mm]
Dies ist unter Garantie kein Erzeugendensystem Deiner Menge M'.
Wie willst Du denn den Vektor (1,-1,0,1) erzeugen?
Und nochwas: aus den drei vektoren kannst Du den Vektor (1,2,3,0) erzeugen, der in M' doch gar nicht drin ist.
Die Vektoren in M' haben die Gestalt (a+b, a-b, a,b).
jetzt schreib das mal als (a+b, a-b, a,b)=a*Vektor1 + b*Vektor2.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 So 27.11.2011 | | Autor: | kalifat |
Ich habe das jetzt als lineares Gleichungssystem geschrieben
<a+b,u>=0
<a-b,u>=0
<a,u>=0
<b,u>=0
[mm] a=\vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4} [/mm] und b=...
Wenn ich das auflöse kommt da jedoch etwas unschönes heraus. Wie kann ich da anders vorgehen.
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Hallo kalifat,
> Ich habe das jetzt als lineares Gleichungssystem
> geschrieben
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> <a+b,u>=0
> <a-b,u>=0
> <a,u>=0
> <b,u>=0
>
> [mm]a=\vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4}[/mm] und b=...
>
> Wenn ich das auflöse kommt da jedoch etwas unschönes
> heraus. Wie kann ich da anders vorgehen.
Angela hat doch geschrieben, daß das
zunächst so geschrieben werden soll:
(a+b, a-b, a,b)=a*Vektor1 + b*Vektor2
Zu diesen 2 Vektoren, Vektor1 und Vektor2 suchst
Du jetzt Vektoren die orthogal zu diesen sind.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 So 04.12.2011 | | Autor: | kalifat |
Bin erst jetzt wieder dazugekommen mir das Bsp. anzusehen.
[mm] \vektor{a+b \\ a-b \\ a \\ b}=\vektor{a \\ a \\ a \\ 0}+\vektor{b \\ -b\\ 0 \\ b}=a*\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0}+b*\vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Jetzt bilde ich das innere Produkt mit dem Basisvektor [mm] \vektor{a \\ b \\ c \\ d}
[/mm]
und erhalte
I: a+b+c=0
II: a-b+d
x=??
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Hallo kalifat,
> Bin erst jetzt wieder dazugekommen mir das Bsp. anzusehen.
>
> [mm]\vektor{a+b \\ a-b \\ a \\ b}=\vektor{a \\ a \\ a \\ 0}+\vektor{b \\ -b\\ 0 \\ b}=a*\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0}+b*\vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Jetzt bilde ich das innere Produkt mit dem Basisvektor
> [mm]\vektor{a \\ b \\ c \\ d}[/mm]
> und erhalte
>
> I: a+b+c=0
> II: a-b+d
>
Das soll doch heißen: [mm]a-b+d\blue{=0}[/mm]
> x=??
Bestimme nun die Lösungsmenge des angegebenen Geichungssystems.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 So 04.12.2011 | | Autor: | kalifat |
Ich habe hier ja nur führende Variablen stehen... wie schaut da die Lösungsmenge dann aus??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 So 04.12.2011 | | Autor: | kalifat |
[mm] M^\perp=Span[\vektor{-s-t \\ s \\ t \\ 2s+t}]
[/mm]
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Hallo kalifat,
> Ich habe hier ja nur führende Variablen stehen... wie
> schaut da die Lösungsmenge dann aus??
Die Lösung in dieser Mitteilung ist richtig.
Schreibe die Lösung in der Form [mm]s*Vektor_{3}+t*Vektor_{4}[/mm]
Dann ist [mm]M_\perp=\operatormame{Span}\left\{Vektor_{3},Vektor_{4}\right\}[/mm]
Gruss
MathePower
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