Orthogonales Komplement < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Mo 22.04.2013 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | | Hallo, ich soll das orthogonale Komplement und vom Ergebnis wiederum das orthog. Komplement berechnen, und zwar für: U= < [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] |
Ich habe das Skalarprodukt gebildet von [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] und < [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] und dieses dann 0 gesetzt, dann erhalte ich als orthogonales komplement: [mm] U_1 [/mm] = < < [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ \lambda } [/mm] >. Stimmt das so? Oder muss man das [mm] x_3 [/mm] = 0 setzen, aber eigentlich darf man ja jede beliebige reelle Zahl einsetzen.. Dann weiß ich aber nicht mehr, wie ich jetzt davon wiederum das orthogonale Komplement ausrechnen soll...
Danke schonmal.
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Hallo,
> Hallo, ich soll das orthogonale Komplement und vom Ergebnis
> wiederum das orthog. Komplement berechnen, und zwar für:
> U= < [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
Ich gehe mal davon aus, dass $U$ ein Untervektorraum von [mm] $\IR^2$ [/mm] sein soll und du auch das orthogonale Komplement in [mm] $\IR^3$ [/mm] berechnen sollst.
> Ich habe das Skalarprodukt
> gebildet von [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm] und < [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> und dieses dann 0 gesetzt, dann erhalte ich als
> orthogonales komplement: [mm]U_1[/mm] = < < [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ \lambda }[/mm]
> >. Stimmt das so?
Nein. Durch $U$ wird doch eine Gerade durch den Ursprung beschrieben.
Alle Vektoren, die dazu orthogonal sind, bilden doch eine Ebene.
Dein orthogonales Komplement muss also aus 2 aufspannenden Vektoren bestehen.
Schau dir nochmal das Gleichungssystem
[mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] = 0
an, was durch das Skalarprodukt = 0 setzen entsteht. Da kannst du nicht nur [mm] x_3 [/mm] beliebig wählen, sondern auch noch [mm] x_2 [/mm] ! Die Lösung dieses LGS ist also ein 2-dimensionaler Unterraum (das ist dann das orthogonale Komplement)
> Dann weiß ich aber nicht mehr, wie ich jetzt
> davon wiederum das orthogonale Komplement ausrechnen
> soll...
Naja, du hast ja dann 2 Vektoren (ich spoiler mal: (0,0,1) und (1,-1,0)), und das orthogonale Komplement zu dem von diesen Vektoren aufgespannten Untervektorraum ist die Menge der Vektoren, die zu beiden senkrecht stehen.
Damit hast du ein neues LGS
[mm] x_3 [/mm] = 0
[mm] x_1 [/mm] - [mm] x_2 [/mm] = 0
das es zu lösen gilt.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:40 Di 23.04.2013 | | Autor: | Trikolon |
Gut, ok. Danke. Und das orthogonale Komplement vom orthogonalen Komplement ist dann wieder der Unterraum selbst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Mi 24.04.2013 | | Autor: | Trikolon |
Stimmt das, was ich oben in der Mitteilung geschrieben hatte?
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Hallo,
> Stimmt das, was ich oben in der Mitteilung geschrieben
> hatte?
![[]](/images/popup.gif) Ja.
Viele Grüße,
Stefan
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