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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Fr 10.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie detailliert die Orthogonalität der Matrix [mm] G:=\produkt_{i=1}^{n}G_{i,m+1}. [/mm] Dabei bezeichnen die [mm] G_{i,m+1} [/mm] die bei dem Update-Verfahren zur QR-Zerlegung konstruierten Givens-Rotationsmatrizen. |
Meine Frage ist:
Eine Matrix M ist doch dann orthogonal, wenn gilt:
[mm] M^{-1}=M^{T}, [/mm] richtig?
Was könnte gemeint sein mit: detailliert ?
Hat jemand eine Idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Fr 10.12.2010 | | Autor: | max3000 |
Was detailliert heißt weiß ich auch nicht, aber du musst zeigen, dass
[mm] G^T*G=I
[/mm]
ergibt. I ist die Einheitsmatrix.
Da musst du jetzt sicherlich schauen was die Transponierte von einem Produkt von Matrizen ist und dann irgendwie über die Definition der Rotationsmatrizen alles wegkürzen.
Zum Beispiel ist ja:
[mm] G^T=(\produkt_{i=1}^{n}G_i)^T=\produkt_{i=1}^{n}G_{n+1-i}^T
[/mm]
also dreht sich alles um.
Dann mit G multiplizieren, da folgt ja:
[mm] G^T*G=G_n^T*G_{n-1}^T*\ldots*G_2^T*G_1^T*G_1*G_2*\ldots*G_n
[/mm]
Siehst du schon was?
In der Mitte steht jetzt [mm] G_1^T*G_1.
[/mm]
Ist eine einzelne Rotation orthogonal? JA!
Also kannst du das rausstreichen.
Dann steht in der Mitte jetzt [mm] G_2^T*G_2. [/mm] Was machen wir nun damit ;)?
Den Rest findest du selber raus.
Schönen Gruß
Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:50 Fr 10.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Vielen lieben Dank für diese Hilfestellung.
LG Dennis
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