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| Aufgabe | Es seien im dreidimensionalen Raum die vom Nullvektor verschiedenen Vektoren [mm] \vec a, \vec b, \vec c, \vec d [/mm] vorgegeben, wobei die Vektoren [mm] \vec a, \vec b, \vec c [/mm] und die Vektoren [mm] \vec b, \vec c, \vec d [/mm] jeweils paarweise orthogonal sind.
Man beweise: es existiert eine reelle Zahl [mm] \alpha [/mm] mit [mm] \ \vec d=\alpha \vec a [/mm]. Berechnen sie die Zahl [mm] \alpha [/mm] |
das heißt ja, dass [mm] \vec a, \vec b, \vec c [/mm], bzw. [mm] \vec b, \vec c, \vec d [/mm] linear unabhängig sind und ich muss zeigen dass daraus folgt, dass [mm] \vec a, \vec d [/mm] linear abhängig sind.
ich weiß irgendwie nicht, wie ich das rechnerisch zeigen kann. ich hab mir die Vektoren [mm] \vec a, \vec b, \vec c [/mm] mal als die Achsen eines dreidimensionalen koordinatensystems vorgestellt (ist doch die einzige Möglichkeit, dass alle paarweise orthogonal sind,oder?). damit dann auch [mm] \vec b, \vec c, \vec d [/mm] paarweise orthogonal sind müsste doch eigentlich [mm] \vec a =\vec d [/mm] sein.
daraus würde folgen, dass [mm] \alpha=1 [/mm] ist.
Jetzt würde ich mich freuen, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte wie ich das auch rechnerisch beweise.
Danke schon mal im voraus.
Schöne Grüße,
Grafzahl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:44 Mi 17.04.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Es seien im dreidimensionalen Raum die vom Nullvektor
> verschiedenen Vektoren [mm]\vec a, \vec b, \vec c, \vec d[/mm]
> vorgegeben, wobei die Vektoren [mm]\vec a, \vec b, \vec c[/mm] und
> die Vektoren [mm]\vec b, \vec c, \vec d[/mm] jeweils paarweise
> orthogonal sind.
> Man beweise: es existiert eine reelle Zahl [mm]\alpha[/mm] mit [mm]\ \vec d=\alpha \vec a [/mm].
> Berechnen sie die Zahl [mm]\alpha[/mm]
> das heißt ja, dass [mm]\vec a, \vec b, \vec c [/mm], bzw. [mm]\vec b, \vec c, \vec d[/mm]
> linear unabhängig sind und ich muss zeigen dass daraus
> folgt, dass [mm]\vec a, \vec d[/mm] linear abhängig sind.
>
> ich weiß irgendwie nicht, wie ich das rechnerisch zeigen
> kann. ich hab mir die Vektoren [mm]\vec a, \vec b, \vec c[/mm] mal
> als die Achsen eines dreidimensionalen koordinatensystems
> vorgestellt (ist doch die einzige Möglichkeit, dass alle
> paarweise orthogonal sind,oder?).
Das ist schonmal gut
> damit dann auch [mm]\vec b, \vec c, \vec d[/mm]
> paarweise orthogonal sind müsste doch eigentlich [mm]\vec a =\vec d[/mm]
> sein.
Nicht ganz [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{d} [/mm] müssen parallel sein, also gibt es ein [mm] \alpha\ne0, [/mm] so dass [mm] \vec{a}=\alpha\cdot\vec{d} [/mm] das ist ja gerade die Definition von Parallelität
> daraus würde folgen, dass [mm]\alpha=1[/mm] ist.
Du musst [mm] \alpha [/mm] nicht ausrechnen, nur zeigen, dass es ein [mm] \alpha\ne0 [/mm] gibt, so dass [mm] \vec{a}=\alpha\cdot\vec{d}
[/mm]
>
> Jetzt würde ich mich freuen, wenn mir jemand einen Tipp
> geben könnte wie ich das auch rechnerisch beweise.
Wenn [mm] \vec{a}\perp\vec{b}\perp\vec{c}, [/mm] ist ja das Ergebnis des Vektorprodukts aus [mm] \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] parallel zu [mm] \vec{a}
[/mm]
Da aber auch [mm] \vec{d}\perp\vec{b}\perp\vec{c} [/mm] gilt, ist das Ergebnis des Vektorprodukt aus [mm] \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] ebenfalls parallel zu [mm] \vec{d}
[/mm]
Nennen wir dieses Vektorprodukt mal [mm] \vec{n}
[/mm]
Dann wissen wir also
[mm] \vec{n}=\vec{b}\times\vec{c}
[/mm]
[mm] \vec{n}\parallel\vec{a}\Leftrightarrow\vec{a}=\lambda\cdot\vec{n} (\lambda\ne0)
[/mm]
und
[mm] \vec{n}\parallel\vec{d}\Leftrightarrow\vec{a}=\mu\cdot\vec{n} (\mu\ne0)
[/mm]
Setze die letzen beiden Gleichungen nun noch passend zusammen.
> Danke schon mal im voraus.
>
> Schöne Grüße,
> Grafzahl
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:16 Mi 17.04.2013 | | Autor: | fred97 |
$ [mm] \vec [/mm] a, [mm] \vec [/mm] b, [mm] \vec [/mm] c $ ist eine Basis des [mm] \IR^3.
[/mm]
Somit ex. [mm] \alpha, \beta, \gamma \in \IR [/mm] mit:
[mm] $\vec [/mm] d= [mm] \alpha [/mm] * [mm] \vec [/mm] a + [mm] \beta [/mm] * [mm] \vec [/mm] b + [mm] \gamma [/mm] * [mm] \vec [/mm] c$
Multipliziere diese Gleichung mit [mm] $\vec [/mm] b$, dann folgt [mm] \beta [/mm] =0
Multipliziere diese Gleichung mit [mm] $\vec [/mm] c$, dann folgt [mm] \gamma [/mm] =0
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