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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Do 22.03.2012 | | Autor: | viet91 |
| Aufgabe | gegeben sei die Matrix 1 0 -1
A= 0 -3 0
-1 0 1,
geben Sie zu jeden Eigenwert xk (k im Index) einen Eigenvektor vk an. Diese Eigenvektoren sollen so ausgewählt werden, dass die Matrix Q=(v1 v2 v3) orthogonal wird. |
Kann mir Jemand da helfen?Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo viet91 und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
Hast du denn die Eigenwerte und dazugehörige Eigenvektoren schon?
Man kann dann das eigentliche Problem mit der orthogonalen Matrix mit dem Gram-Schmidt-Verfahren angehen.
Oder benötigst du Hilfe bei der Berechnung der Eigenvektoren?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Do 22.03.2012 | | Autor: | viet91 |
Die Eigenwerte zu berechnen nicht schwer.
Ich brauche nur hilfe wie ich die Eigenvektoren wählen kann, damit die Matix Q orthogolnal wird und
mit Â= Q^(-1)*A*Q komm ich auch nicht weiter.
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Hallo,
wie gesagt: habt ihr das Gram-Schmidt-Verfahren schon durchgenommen?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Do 22.03.2012 | | Autor: | viet91 |
Dieses Verfahren ist mir leider nicht bekannt.
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich schlage vor, daß Du un mal sagst, welche Eigenwerte und -vektoren Du ermittelt hast.
Dann kann Dir sicher jemand weiterhelfen.
Genauestens prüfen solltest Du, ob Dir das gram-Schmidt-Verfahren unbekannt ist, weil es nicht besprochen wurde, oder weil Du es irgendwie verpaßt hast.
Man kommt hier aber sicher auch ohne aus.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Do 22.03.2012 | | Autor: | viet91 |
Meine Eigenwerte sind:
x1= -3
x2= 0
X3= 2
sidn die erstmal richtig?
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Hallo viet91,
> Meine Eigenwerte sind:
> x1= -3
> x2= 0
> X3= 2
>
> sidn die erstmal richtig?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Do 22.03.2012 | | Autor: | viet91 |
Wie wähle ich nun die Eigenwerte, sodass Q eine orthogonale Matrix wird?
das Gram-Schmidt-Verfahren ist mir völlig unbekannt.
lg
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Hallo viet91,
> Wie wähle ich nun die Eigenwerte, sodass Q eine
> orthogonale Matrix wird?
> das Gram-Schmidt-Verfahren ist mir völlig unbekannt.
>
Ermittle zunächst die Eigenvektoren zu den zugehörigen Eigenwerten.
Teste dann diese Eigenvektoren auf Orthogonalität.
>
> lg
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Do 22.03.2012 | | Autor: | viet91 |
Also wenn ich Eigenwert1= -3 einsetze habe ich den Ansatz:
(4 0 -1)*x1 =0
(0 0 0)*x2 =0
(-1 0 4)*x3 =0
komme aber am ende auf:
0 0 15/0
0 0 0/0
-1 0 4/0
wie komm ich jetzt zu den Eigenvektoren? habe ich falsch gerechnet, denn anstatt der 15 muss da doch ein 0 stehen?
lg
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Hallo viet91,
> Also wenn ich Eigenwert1= -3 einsetze habe ich den Ansatz:
>
> (4 0 -1)*x1 =0
> (0 0 0)*x2 =0
> (-1 0 4)*x3 =0
>
> komme aber am ende auf:
> 0 0 15/0
> 0 0 0/0
> -1 0 4/0
>
> wie komm ich jetzt zu den Eigenvektoren? habe ich falsch
> gerechnet, denn anstatt der 15 muss da doch ein 0 stehen?
>
Du hast schon richtig gerechnet.
Löse jetzt dieses Gleichungssystem.
> lg
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Do 22.03.2012 | | Autor: | viet91 |
Wenn ich das als GS sehe und löse, dann ist x1,x2,x3=0
lg
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Hallo viet91,
> Wenn ich das als GS sehe und löse, dann ist x1,x2,x3=0
>
Nur der Nullvektor kann kein Eigenvektor sein.
Für [mm]x_{2}[/mm] gibt es doch unendlich viele Lösungen.
> lg
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Do 22.03.2012 | | Autor: | viet91 |
Sind meine Eigenvektoren richtig?
v1 = (0,0,0)T
v2 = (1,0,1)T
v2 = (-1,0,1)T
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Do 22.03.2012 | | Autor: | viet91 |
Ich glaube v1= (0,1,0)T
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Hallo viet91,
> Ich glaube v1= (0,1,0)T
Jetzt stimmt auch v1.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Do 22.03.2012 | | Autor: | viet91 |
So alle Vektoren sind zueinander Orthogonal.
Heißt das, dass die Matrix Q auch orthogonal ist?
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> So alle Vektoren sind zueinander Orthogonal.
> Heißt das, dass die Matrix Q auch orthogonal ist?
Hallo,
fast.
Zunächst einmal halten wir fest:
wenn man eine symmetrische Matrix hat, dann sind die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten automatisch orthogonal. Immer. Ohne daß man etwas tun muß.
Tun muß man u.U. etwas, wenn ein Eigenraum die Dimension [mm] \ge [/mm] 2 hat, was aber hier nicht der Fall ist.
In einer orthogonalen Matrix sind die Spalten nicht nur paarweise orthogonal, sondern auch normiert!
Um zu der Orthogonalmatrix zu kommen, mußt Du Deine Vektoren also noch normieren.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Fr 23.03.2012 | | Autor: | viet91 |
Das heißt ich muss nur die Vektoren durch deren Betrag teilen.
sind das dann meine normierten Vektoren?
v1 = (0,1,0)T
v2 = [mm] (\wurzel{2}/2, [/mm] 0, [mm] \wurzel{2}/2)T
[/mm]
v3 = [mm] (-\wurzel{2}/2 [/mm] , 0, [mm] \wurzel{2}/2)T
[/mm]
lg
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Hallo,
> Das heißt ich muss nur die Vektoren durch deren Betrag
> teilen.
>
> sind das dann meine normierten Vektoren?
>
> v1 = (0,1,0)T
> v2 = [mm](\wurzel{2}/2,[/mm] 0, [mm]\wurzel{2}/2)T[/mm]
> v3 = [mm](-\wurzel{2}/2[/mm] , 0, [mm]\wurzel{2}/2)T[/mm]
ja: das passt jetzt.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:32 Fr 23.03.2012 | | Autor: | viet91 |
Vielen Dank!
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Hallo viet91,
> Sind meine Eigenvektoren richtig?
>
> v1 = (0,0,0)T
> v2 = (1,0,1)T
> v2 = (-1,0,1)T
>
> lg
Bis auf v1 ist alles richtig.
Gruss
MathePower
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