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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 So 14.10.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Ist V ein Euklidischer oder unitärer Vektorraum und W ein endlich dimensionaler Teilraum von V, dan gilt
V = W [mm] \oplus W^{\perp}
[/mm]
Der mit dieser Zerlegung assozierte Projektor P: V->W wird Orthogonalprojektion auf W genannt. Ist [mm] b_1 [/mm] ,.., [mm] b_k [/mm] eine Orthonormalbasis von W so gilt:
p(v) = [mm] \sum_{i=1}^k
[mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V |
Hallo,
Meine Frage ist bezüglich des Kernes dieser Abbildung.
Wieso gilt
ker (p) = [mm] \bigcap_{i=1}^{k} b_i^{\perp} [/mm] = [mm] \{b_1 ,..,b_k\}^{\perp}
[/mm]
Leider ist mir das erste Gleichheitszeigen nicht klar.
Vlt könnt ihr da etwas Licht in die Sache bringen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:12 So 14.10.2012 | | Autor: | pits |
Vielleicht kann die Frage "Wieso?" mit einem Beispiel beantwortet werden.
> Ist V ein Euklidischer oder unitärer Vektorraum und W ein
> endlich dimensionaler Teilraum von V, dan gilt
> V = W [mm]\oplus W^{\perp}[/mm]
Wenn [mm] $V=\IR^3$ [/mm] und W der Vektorraum der von der [mm] $x_1 x_2$-Ebene [/mm] aufgespannt wird. Dann ist [mm] $W^\perp$ [/mm] gleich der [mm] $x_3$-Achse [/mm] und logischerweise V gleich der direkten Summe.
> Der mit dieser Zerlegung
> assozierte Projektor P: V->W wird Orthogonalprojektion auf
> W genannt. Ist [mm]b_1[/mm] ,.., [mm]b_k[/mm] eine Orthonormalbasis von W so
> gilt:
> p(v) = [mm]\sum_{i=1}^k
> [mm]\forall[/mm] v [mm]\in[/mm] V
Dies kann man sich jetzt leicht vorstellen, in dem man [mm] $b_i=e_i [/mm] , i=1,2,3$ setzt. Also die Basis aus Einheitsvektoren.
> Wieso gilt
> ker (p) = [mm]\bigcap_{i=1}^{k} b_i^{\perp}[/mm] = [mm]\{b_1 ,..,b_k\}^{\perp}[/mm]
Mit dem Satz aus deiner anderen Frage, können wir das ja hier mal auf das Beispiel runterbrechen:
[mm] $ker(p)=\bigcap_{i=1}^2 b_i^\perp [/mm] = [mm] e_1^\perp \cap e_2^\perp [/mm] = [mm] (e_1 \cup e_2)^\perp$ [/mm] dies ist der orthogonale Raum zu dem von [mm] $e_1$ [/mm] und [mm] $e_2$ [/mm] aufgespannte Raum, also die [mm] $x_3$-Achse [/mm] und dies sind alle Vektoren, die durch die Projektion auf 0 abgebildet werden.
Bringt das Licht in die Sache?
pits
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 So 14.10.2012 | | Autor: | sissile |
Wahrscheinlich eine ganz dumme Frage, aber:
> also die $ [mm] x_3 [/mm] $-Achse und dies sind alle Vektoren, die durch die Projektion auf 0 abgebildet werden.
wieso werden die Vektoren der [mm] x_3 [/mm] -Achse durch die Projektion auf 0 abgebildet?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 So 14.10.2012 | | Autor: | pits |
Hi sissile,
> Wahrscheinlich eine ganz dumme Frage, aber:
Fragen sind nur dann dumm, wenn man vorher nicht selbst drüber nachgedacht hat.
> wieso werden die Vektoren der [mm]x_3[/mm] -Achse durch die
> Projektion auf 0 abgebildet?
In dem Beispiel wird alles orthogonal auf die [mm] $x_1 x_2$-Ebene [/mm] abgebildet, d.h. die [mm] $x_3$-Achse [/mm] wird auf 0 abgebildet.
Formal: Sei v ein Vektor mit $v = [mm] v_1 e_1+ v_2 e_2 [/mm] + [mm] v_3 e_3$ [/mm] dann ist [mm] $p(v)=v_1 e_1+v_2 e_2$ [/mm] also ist $p(v)$ nur dann null, wenn [mm] $v_1$ [/mm] undn [mm] $v_2$ [/mm] gleich 0 sind, also lag v bereits auf der [mm] $x_3$-Achse.
[/mm]
Gruß
pits
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:06 Mo 15.10.2012 | | Autor: | fred97 |
Der Orthogonalprojektor P hat nach Definition(!) die Eigenschaften:
[mm] P^2=P, [/mm] Bild(P)=W und [mm] kern(P)=W^{\perp}
[/mm]
FRED
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