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| Aufgabe | Sei [mm] $\mathcal{V}$ [/mm] ein [mm] $\mathbb{R}$-Vektorraum [/mm] mit Basis $B = [mm] (B_1, \ldots, B_4)$. [/mm] Weiter sei [mm] $\Phi$ [/mm] due symmetrische Bilinearform auf [mm] $\mathcal{V}$ [/mm] mit.
[mm] $${}_{B}\Phi^B [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$
[/mm]
Ferner sei [mm] $\mathcal{U} [/mm] := [mm] \left \langle B_1, B_2 \right \rangle \leq \mathcal{V}$.
[/mm]
(b) Geben Sie Orthonormalbasen von [mm] $\mathcal{U}$ [/mm] und [mm] $\mathcal{U}^{perp}$ [/mm] an. |
Hi,
Ich habe das ganze mit Gram-Schmidt gemacht bin mir aber nicht sicher ob das so ok ist:
Zunächst ist [mm] $B_1, B_2$ [/mm] die ersten beiden Spalten der Matrix [mm] ${}_B \Phi^B$
[/mm]
Zu diesen beiden Vektoren bilde ich nun die ON-Basis:
[mm] $X_1 [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{3}} \vektor{1\\1\\1\\0}$
[/mm]
[mm] $X_2_{temp} [/mm] = [mm] \vektor{1\\2\\1\\0} [/mm] + [mm] \left \langle \vektor{1\\2\\1\\0}, \vektor{1\\1\\1\\0} \right \rangle \frac{1}{\sqrt{3}}\frac{1}{\sqrt{3}}\vektor{1\\1\\1\\0} [/mm] = [mm] \frac{1}{3}\vektor{7\\10\\7\\0}
[/mm]
Also:
[mm] $X_2 [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{49+100+49}}\vektor{7\\10\\7\\0}$
[/mm]
Damit bildet
[mm] $$(X_1,X_2 [/mm] )$$
eine ON-Basis von [mm] $\mathcal{U}$
[/mm]
korrekt?
Nun zu [mm] $\mathcal{U}^{\perp}.
[/mm]
Hier würde ich dann [mm] $B_3,B_4$ [/mm] (wegen [mm] B_3 \notin \mathcal{U} [/mm] und [mm] $B_4 \notin \mathcal{U}) [/mm] ebenfall orthonormalisieren. Also quasi das Gram-Schmidt-Verfahren weiterlaufen lassen mit den Vektoren [mm] $B_3, B_4$. [/mm] Die so erhaltenen Vektoren [mm] $X_3,X_4$ [/mm] sind dann die ON-Basis zu [mm] $\mathcal{U}^{\perp}$
[/mm]
korrekt?
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> Sei [mm]\mathcal{V}[/mm] ein [mm]\mathbb{R}[/mm]-Vektorraum mit Basis [mm]B = (B_1, \ldots, B_4)[/mm].
> Weiter sei [mm]\Phi[/mm] due symmetrische Bilinearform auf
> [mm]\mathcal{V}[/mm] mit.
> [mm]{}_{B}\Phi^B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Ferner sei [mm]\mathcal{U} := \left \langle B_1, B_2 \right \rangle \leq \mathcal{V}[/mm].
>
> (b) Geben Sie Orthonormalbasen von [mm]\mathcal{U}[/mm] und
> [mm]\mathcal{U}^{perp}[/mm] an.
> Hi,
> Ich habe das ganze mit Gram-Schmidt gemacht bin mir aber
> nicht sicher ob das so ok ist:
>
> Zunächst ist [mm]B_1, B_2[/mm] die ersten beiden Spalten der Matrix
> [mm]{}_B \Phi^B[/mm]
Hallo,
nein, das stimmt nicht.
Die matrix ist doch die Darstellungsmatrix der Bilinearform [mm] \phi [/mm] bzgl. der Basis B.
Es ist B= [mm] (b_i_k) [/mm] mit [mm] b_i_k=\phi(B_i,b_k).
[/mm]
>
> Zu diesen beiden Vektoren bilde ich nun die ON-Basis:
Du mußt [mm] B_1 [/mm] und [mm] B_2 [/mm] orthonormalisieren - und zwar bzgl der oben gegebenen Bilinearform.
Erstmal [mm] B_1 [/mm] normieren:
[mm] C_1=\bruch{B_1}{\parallel B_1\parallel}=\bruch{B_1}{\wurzel{}= \bruch{B_1}{\wurzel{1}} =B_1 (: [/mm] Element der Matrix links oben)
Und nun weiter. [mm] [/mm] erfährst Du stets aus der Matrix.
Gruß v. Angela
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ah, ok d.h. ich kenne gar keine Werte von den Vektoren [mm] B_1, B_2 [/mm] sondern weiss nur wegen der Gram-Matrix [mm] ${}_B \Phi [/mm] ^B$ wie das Skalarprodukt zwischen den beiden aussieht.> > Sei [mm]\mathcal{V}[/mm] ein
> Und nun weiter. [mm][/mm] erfährst Du stets aus der
> Matrix.
Ok, dann bestimme ich jetzt mit der 2. Iteration der Gram-Schmidtverfahren [mm] $C_2$:
[/mm]
[mm] $C_{2_{temp}} [/mm] = [mm] B_2 [/mm] + [mm] X_1 [/mm] = [mm] B_2 [/mm] + [mm] B_1 [/mm] = [mm] B_2 [/mm] + 1 * [mm] B_1 [/mm] = [mm] B_2 [/mm] + [mm] B_1
[/mm]
Nun [mm] $B_2 [/mm] + [mm] B_1$ [/mm] orthogonal zu [mm] $C_1$. [/mm] Jedoch noch nicht normiert.
Dazu :
[mm] $C_2 [/mm] = [mm] \frac{B_2+B_1}{||B_2+B_1||}$ [/mm] Aber was ist denn jetzt die Länge von [mm] $B_2 [/mm] + [mm] B_1$? [/mm] Ich müsste ja quasi [mm] $ [/mm] ablesen können. Kann ich aber nicht.
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> ah, ok d.h. ich kenne gar keine Werte von den Vektoren [mm]B_1, B_2[/mm]
> sondern weiss nur wegen der Gram-Matrix [mm]{}_B \Phi ^B[/mm] wie
> das Skalarprodukt zwischen den beiden aussieht.> > Sei
> [mm]\mathcal{V}[/mm] ein
>
> > Und nun weiter. [mm][/mm] erfährst Du stets aus der
> > Matrix.
>
> Ok, dann bestimme ich jetzt mit der 2. Iteration der
> Gram-Schmidtverfahren [mm]C_2[/mm]:
>
> [mm]$C_{2_{temp}}[/mm] = [mm]B_2[/mm] + [mm] X_1[/mm] = [mm]B_2[/mm] + [mm] B_1[/mm]
> = [mm]B_2[/mm] + 1 * [mm]B_1[/mm] = [mm]B_2[/mm] + [mm]B_1[/mm]
>
> Nun [mm]B_2 + B_1[/mm] orthogonal zu [mm]C_1[/mm]. Jedoch noch nicht
> normiert.
> Dazu :
>
> [mm]$C_2[/mm] = [mm]\frac{B_2+B_1}{||B_2+B_1||}$[/mm] Aber was ist denn jetzt
> die Länge von [mm]$B_2[/mm] + [mm]B_1$?[/mm] Ich müsste ja quasi [mm]$[/mm]
> ablesen können. Kann ich aber nicht.
Hallo,
direkt ablesen kannst Du's nicht.
Aber Du kennst doch Eigenschaften von [mm] \phi, [/mm] insbesondere die Bilinearität.
Gruß v. Angela
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D.h. [mm] $$ [/mm] forme ich um zu:
[mm] $$ [/mm] = [mm] [/mm] + [mm] [/mm] = [mm] + [/mm] + [mm] [/mm] + [mm] $$ [/mm] Das kann ich dann wieder in der Matrix ablesen und es ist
[mm] $$ [/mm] = 1+1+1+2 = 5$
Und somit [mm] $C_2 [/mm] = [mm] \frac{B_1+B_2}{5}$
[/mm]
ok?
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Hallo,
[mm] 5=\parallel B_1+>B_2\parallel^2.
[/mm]
Gruß v. Angela
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