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| Aufgabe | Ergänzen Sie die Vektoren
[mm]$$v_1 = \begin{pmatrix}1/2\\1/2\\1/2\\1/2\end{pmatrix} , v_2 = \begin{pmatrix}1/2\\1/2\\-1/2\\-1/2\end{pmatrix}$$[/mm]
zu einer Orthonormalbasis des [mm] \IR^4.
[/mm]
Sei U die von [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] aufgespannte Ebene und
[mm]\pi : \IR^4 \rightarrow U \subset \IR^4[/mm]
die orthogonale Projektion auf U (aufgefasst als eine Abbildung von [mm]\IR^4[/mm] in sich selbst). Geben
Sie die Darstellungsmatrix dieser Abbildung in der kanonischen Basis von [mm]\IR^4[/mm] an. |
Hallo!
ich habe diese Frage noch nirgendwo anders gestellt:
Orthonormalbasis heißt doch per Definition, dass die Basisvektoren orthogonal sind, also das Skalarprodukt Null ist. Bedeutet das, dass das Skalarprodukt der zwei noch zu findenden Vektoren auch mit den zwei schon gegebenen Vektoren null sein muss?
Ein Basisvektor wäre ja schon mal der Nullvektor oder? Der wäre ja auch zu [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] orthogonal. Wie finde ich dann den vierten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:19 Di 01.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Ergänzen Sie die Vektoren
> [mm]$$v_1 = \begin{pmatrix}1/2\\1/2\\1/2\\1/2\end{pmatrix} , v_2 = \begin{pmatrix}1/2\\1/2\\-1/2\\-1/2\end{pmatrix}$$[/mm]
>
> zu einer Orthonormalbasis des [mm]\IR^4.[/mm]
> Sei U die von [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] aufgespannte Ebene und
> [mm]\pi : \IR^4 \rightarrow U \subset \IR^4[/mm]
> die orthogonale
> Projektion auf U (aufgefasst als eine Abbildung von [mm]\IR^4[/mm]
> in sich selbst). Geben
> Sie die Darstellungsmatrix dieser Abbildung in der
> kanonischen Basis von [mm]\IR^4[/mm] an.
> Hallo!
>
> ich habe diese Frage noch nirgendwo anders gestellt:
>
> Orthonormalbasis heißt doch per Definition, dass die
> Basisvektoren orthogonal sind, also das Skalarprodukt Null
> ist. Bedeutet das, dass das Skalarprodukt der zwei noch zu
> findenden Vektoren auch mit den zwei schon gegebenen
> Vektoren null sein muss?
Ja.
>
> Ein Basisvektor wäre ja schon mal der Nullvektor oder? Der
> wäre ja auch zu [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] orthogonal. Wie finde ich dann
> den vierten?
Nein, der Nullvektor macht ja dann die lineare Unabhängigkeit kaputt.
Du nimmst dir einfach zwei Vektoren, von denen du weisst, dass sie linear unabhängig zu den bisherigen sind, und wendest das Gram-Schmidt-Verfahren auf sie an, z.B. wäre [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] so ein Kandidat; jetzt brauchste noch nen anderen. Oder du rätst gekonnt ^^
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Da sieht man wieder mal, dass man erst die Vorlesung abwarten sollte.
Das Gram-Schmidt-Verfahren haben wir heute besprochen (wie passend!)
Vielen Dank für die Antwort!
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Habe meinen Fehler gefunden....
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Ich habe noch mal eine Frage zum zweiten Teil der Aufgabe:
Sei U die von von v1 und v2 aufgespannte Ebene und
[mm]\pi:\IR^4 \rightarrow U \subset \IR^4[/mm]
die orthogonale Projektion auf U. Geben Sie die Darstellungsmatrix dieser Abbildung in der kanonischen Basis von [mm]\IR^4[/mm] an.
Also orthogonale Projektion bedeutet ja, dass [mm]\pi (x) \in U[/mm] und [mm]x-\pi (x)\in U^\perp[/mm] ist. Mein Problem besteht nun darin, wie ich das mit U kombiniere. U ist meiner Meinung nach doch:
[mm]U=\left\{r\cdot \begin{pmatrix}1/2\\1/2\\1/2\\1/2\end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}1/2\\1/2\\-1/2\\-1/2\end{pmatrix} \right\}[/mm] oder?
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> Ich habe noch mal eine Frage zum zweiten Teil der Aufgabe:
>
> Sei U die von von v1 und v2 aufgespannte Ebene und
>
> [mm]\pi:\IR^4 \rightarrow U \subset \IR^4[/mm]
>
> die orthogonale Projektion auf U. Geben Sie die
> Darstellungsmatrix dieser Abbildung in der kanonischen
> Basis von [mm]\IR^4[/mm] an.
>
> Also orthogonale Projektion bedeutet ja, dass [mm]\pi (x) \in U[/mm]
> und [mm]x-\pi (x)\in U^\perp[/mm] ist. Mein Problem besteht nun
> darin, wie ich das mit U kombiniere.
Hallo,
ich fürchte, ich verstehe Dein Problem nicht...
> U ist meiner Meinung
> nach doch:
>
> [mm]U=\left\{r\cdot \begin{pmatrix}1/2\\1/2\\1/2\\1/2\end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}1/2\\1/2\\-1/2\\-1/2\end{pmatrix} \right\}[/mm]
> oder?
Ja, die Ebene, die von [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] aufgespannt wird.
Du hast ja inzwischen [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] zu einer ONB [mm] B=(v_1, v_2, v_3, v_4) [/mm] des [mm] \IR^4 [/mm] ergänzt.
Ziel ist die Darstellungsmatrix der orth. Projektion auf U bzgl der kanonischen Basis.
Stell doch erstmal die Matrix bzgl der Basis B auf.
Was ist [mm] \pi(v_1), \pi(v_2), \pi(v_3), \pi(v_4) [/mm] ?
Wenn Du diese Matrix hast, kannst Du Dir mithilfe der basistransformation die Darstellungsmatrix bzgl der kanonischen Basis draus errechnen.
Gruß v. Angela
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Ja, es ist immer ein wenig schwierig, das Problem verständlich zu formulieren..
Mein Problem liegt darin, dass ich nicht so ganz verstehe, was U jetzt mit meinem Vektor v1 macht
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> Ja, es ist immer ein wenig schwierig, das Problem
> verständlich zu formulieren..
>
> Mein Problem liegt darin, dass ich nicht so ganz verstehe,
> was U jetzt mit meinem Vektor v1 macht
Hallo,
U macht gar nix. Das ist eine Ebene, die still und friedlich im Raum rumliegt.
Wer was macht, das ist [mm] \pi.
[/mm]
[mm] \pi [/mm] bildet alle Vektoren, die in U liegen, auf sich selbst ab und macht alle, die senkrecht zu U sind, zu Null.
Es wird auf U projeziert. Wie auf eine Leinwand. Die Pfeile, die ich parallel zur Leinwand halte, verandern sich nicht, die, die ich (wenn der Projektor die Leinwand senkrecht bestrahlt) senkrecht zur Leinwand halte, verschwinden.
Gruß v. Angela
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Sorry ich meinte natürlich [mm] $\pi$...
[/mm]
Also [mm] $\pi [/mm] (x) [mm] \in [/mm] U$ und [mm] $x-\pi [/mm] (x) [mm] \in U^\perp$
[/mm]
Da [mm] $v_1$ [/mm] ja in der ONB liegt, müsste da nicht [mm] $v_1-\pi (v_1)=0$ [/mm] sein?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 Sa 05.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Genau das hat doch angela gesagt, [mm] \pi [/mm] bildet v1 aufsich selbst ab.
Gruss leduart
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ok, stimmt.
wenn also O die Orthonormalbasis ist (übrigens: ich habe als einen Basisvektor [mm] $\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}$ [/mm] heraus, kann das sein?), ist dann
[mm] $_OM_O(\pi)=\{\pi(v_1),\pi(v_2),\pi(v_3),\pi(v_4)\}$ [/mm] die Abbildungsmatrix von [mm] $\pi$ [/mm] in der Basis O?
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Hey!
> ok, stimmt.
>
> wenn also O die Orthonormalbasis ist (übrigens: ich habe
> als einen Basisvektor
> [mm]\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}[/mm] heraus, kann das
> sein?), ist dann
Nein, wie oben schon erwähnt kann das nicht sein. Eine Basis zeichnet sich durch zwei Sachen aus:
1.)Sie spannt den ganzen Raum auf
2.)Alle Basisvektoren sind linear unabhängig.
[mm] \vec{0} [/mm] ist allerdings zu jedem anderen Vektor linear abhängig, also kann es kein Basisvektor sein.
>
> [mm]_OM_O(\pi)=\{\pi(v_1),\pi(v_2),\pi(v_3),\pi(v_4)\}[/mm] die
> Abbildungsmatrix von [mm]\pi[/mm] in der Basis O?
Jup.
Gruß Patrick
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Nachdem ich mich jetzt schon vier mal verrechnet habe, würde ich gerne meine Ergüsse hier mal posten in der Hoffnung, dass irgend jemand meine(n) Fehler findet...
Also [mm] $u_1$ [/mm] und [mm] $u_2$ [/mm] sind ja schon bekannt.
wähle [mm] $v_3=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}$, $v_4=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}$\\
[/mm]
[mm] $\begin{array}{lll}
u'_3&=&v_3-\cdot u_1-\cdot u_2\\
&=&\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}-\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}1/2\\1/2\\1/2\\1/2\end{pmatrix}-\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}1/2\\1/2\\-1/2\\-1/2\end{pmatrix}\\
&=&\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1/4\\1/4\\1/4\\1/4\end{pmatrix}-
\begin{pmatrix}1/4\\1/4\\-1/4\\-1/4\end{pmatrix}\\
&=&\begin{pmatrix}1/2\\-1/2\\0\\0\end{pmatrix}
\end{array}$
[/mm]
[mm] $u_3=\frac{1}{\|u'_3\|}\cdot u'_3=\frac{1}{\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(-\frac{1}{2})^2}}\cdot \begin{pmatrix}1/2\\-1/2\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1/\sqrt{2}\\-1/\sqrt{2}\\0\\0\end{pmatrix}$\\
[/mm]
[mm] \bigskip
[/mm]
[mm] $\begin{array}{lll}
u'_4&=&v_4-\cdot u_1-\cdot u_2-\cdot u_3\\
&=&\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}-\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}1/2\\1/2\\1/2\\1/2\end{pmatrix}-\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}1/2\\1/2\\-1/2\\-1/2\end{pmatrix}-\left((-\frac{1}{\sqrt{2}})\cdot \begin{pmatrix}1/\sqrt{2}\\-1/\sqrt{2}\\0\\0\end{pmatrix}\right)\\
&=&\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1/4\\1/4\\1/4\\1/4\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}1/4\\1/4\\-1/4\\-1/4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1/2\\1/2\\0\\0\end{pmatrix}\\
&=&\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}
\end{array}$
[/mm]
[mm] $u_4=\frac{1}{\|u'_4\|}\cdot u'_4=\frac{1}{\sqrt{(\frac{3}{2})^2+(-\frac{3}{2})^2}}\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}$\\
[/mm]
Also ist die Orthonormalbasis [mm] $B=\left\{\begin{pmatrix}1/2\\1/2\\1/2\\1/2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1/2\\1/2\\-1/2\\-1/2\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}1/\sqrt{2}\\-1/\sqrt{2}\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}\right\}$
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 Sa 05.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ein Nullvektor kann doch niemals ein Basisvektor sein!
Du hast rausgekriegt, dass deine Wahl von u4 falsch war, d.h. u4 ist nicht lin unabhängig von u1 bis u3
(konnte man dierekt sehen v1+v2=u3+u4.
also musst du nen besseren kandidaten für u4 suchen .
Gruss leduart
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hmmm..ist das wirklich so einfach?
Ich wähle einfach ein anderes [mm] $v_4$ [/mm] und schon klappt's?
stimmt, wenn ich statt [mm] $\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}$ [/mm] z.B. [mm] \begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix} [/mm] wähle, dann bekomme ich natürlich einen anderen als den Nullvektor heraus *schlagmirvordenkopf
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> hmmm..ist das wirklich so einfach?
>
> Ich wähle einfach ein anderes [mm]v_4[/mm] und schon klappt's?
Hallo,
naja, mit jedem wird's nicht klappen...
Wenn Du mit Gram-Schmidt aus irgendeiner Basis ein ONB machen willst, kann das nur klappen, wenn die "irgendeine Basis" auch wirklich eine Basis ist.
Davon sollte man sich überzeugen, bevor man orthogonalisiert, ist ja sonst schade um die verlorene Zeit.
Gruß v. Angela
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