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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:37 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Sei [mm] V=\IR^{4}, A=\pmat{ 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & -1 } \in M_{4}(\IR) [/mm] und
s.V [mm] \times [/mm] V [mm] \to \IR [/mm] mit [mm] s(x,y)=x^{T}*A*y [/mm] für alle x,y [mm] \in \IR^{4}.
[/mm]
a) Man bestimme eine Orthonormalbasis von V derart, dass die Gramsche Matrix von V bezüglich dieser Basis eine Diagonalmatrix ist. |
Hallo,
ich hab zwar eine Idee wie man diese Aufgabe lösen könnte, aber das ist viel zu umständlich glaube ich und würde auch sehr lange dauern.
Ich hab mir gedacht, dass die Gramsche Matrix so aussehen muss:
[mm] G=\pmat{ g1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & g2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & g3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & g4 }.
[/mm]
Sei jetzt B irgendeine Basis (die werde ich später orthonormalisieren), [mm] B=(v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}).
[/mm]
Dann muss gelten:
[mm] v_{1}*A*v_{1}=g1, v_{1}*A*v_{2}=0... [/mm] und so würde ich für alle 12 Einträge von G jeweils eine Gleichung aufstellen.Dann hätte ich ein Gleichungssystem, durch das ich die Vektoren aus B rauskriegen könnte. Dann hätte ich meine Basis B und würde die anschließende orthonormalisieren. Aber ich glaube nicht, dass der Sinn der Aufgabe ist, eine Gleichungssystem mit 12 Variablen zu lösen.
Hat jemand einen Tipp für mich, wie ich die Aufgabe anders lösen kann ?
Vielen Dank
lg
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> Hat jemand einen Tipp für mich, wie ich die Aufgabe anders
> lösen kann ?
Hallo,
mein Tip:
die Matrix ist symmetrisch, also orthogonal diagonalisierbar...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:58 Fr 04.02.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> mein Tip:
>
> die Matrix ist symmetrisch, also orthogonal
> diagonalisierbar...
Ok, ich hab die Matrix A jetzt diagonalisiert und habe eine Diagonalmatrix [mm] D=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 } [/mm] und eine Matrix [mm] Q=\pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 } [/mm] für die gilt: [mm] Q^{T}*A*Q=D.
[/mm]
D könnte jetzt meine Gramsche Matrix sein. Kann ich nicht eifach die Spaltenvektoren von D als meine Basisvektoren von V benutzen und dann orthonormalisieren?
lg
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> > mein Tip:
> >
> > die Matrix ist symmetrisch, also orthogonal
> > diagonalisierbar...
>
> Ok, ich hab die Matrix A jetzt diagonalisiert und habe eine
> Diagonalmatrix [mm]D=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -2 }[/mm]
> und eine Matrix [mm]Q=\pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 }[/mm]
> für die gilt: [mm]Q^{T}*A*Q=D.[/mm]
Hallo,
nein, eine Matrix Q mit [mm] Q^{-1}AQ=D,
[/mm]
denn Q ist ja nicht orthogonal.
>
> D könnte jetzt meine Gramsche Matrix sein. Kann ich nicht
> eifach die Spaltenvektoren von D als meine Basisvektoren
> von V benutzen und dann orthonormalisieren?
Prinzipiell ja - allerdings solltest Du Deine Eigenvektoren nochmal überprüfen, sie scheinen mir nicht richtig zu sein.
Gruß v. Angela
>
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Mo 10.02.2014 | | Autor: | Gina2013 |
Guten Abend,
mich würde gerne interessieren, wie die Aufgabe zu Ende geht. Habe Q nachgerechnet, dann ist [mm] Q=\pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }.
[/mm]
Wenn ich nach Gram-Schmidt-Verfahren ONB suche, dann ist es Standardbasis [mm] \IR^{4}? [/mm] Ist das richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Di 11.02.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig
gruß leduart
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