Orthonormalbasis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 Mo 27.06.2011 | | Autor: | mwieland |
| Aufgabe | Gegeben seien 3 Vektoren
[mm] \vec{v_1} [/mm] = [mm] (2,-1,0,2)^{t}, \vec{v_2} [/mm] = [mm] (3,-6,1,9)^{t}, \vec{v_3} [/mm] = [mm] (0,9,-2,-12)^{t}
[/mm]
(a) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis des Untervektorraums U, der von den drei vektoren aufgespannt wird. Welche Dimension besitzt U?
(b) Projezieren Sie den Vektor [mm] \vec {p}=(1,0,1,-1)^{t} [/mm] auf U. |
Hallo zusammen!
Könnt ihr mir bitte bei dieser aufgabe helfen, habe da gerade überhaupt keinen Plan... Bin mir nicht mal sicher ob ich genau weiß, weil eine Orthonormalbasis ist...
Kann mir das bitte jemand erklären wie ich sowas angehe bzw. worauf ich achten muss?
dank und lg
markus
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Hallo Markus,
> Gegeben seien 3 Vektoren
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> [mm]\vec{v_1}[/mm] = [mm](2,-1,0,2)^{t}, \vec{v_2}[/mm] = [mm](3,-6,1,9)^{t}, \vec{v_3}[/mm]
> = [mm](0,9,-2,-12)^{t}[/mm]
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> (a) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis des
> Untervektorraums U, der von den drei vektoren aufgespannt
> wird. Welche Dimension besitzt U?
>
> (b) Projezieren Sie den Vektor [mm]\vec {p}=(1,0,1,-1)^{t}[/mm] auf
> U.
> Hallo zusammen!
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> Könnt ihr mir bitte bei dieser aufgabe helfen, habe da
> gerade überhaupt keinen Plan... Bin mir nicht mal sicher
> ob ich genau weiß, weil eine Orthonormalbasis ist...
Na, das ist eine Basis, in der die Basisvektoren paarweise orthogonal und normiert sind, also Länge 1 haben.
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> Kann mir das bitte jemand erklären wie ich sowas angehe
> bzw. worauf ich achten muss?
Schaue dir mal das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren an, damit kannst du aus einem System von (linear unabh.) Vektoren ein orthogonales System berechnen. Wenn du anschließend jeden Vektor noch normierst, hast du ein ONS ...
Das kannst du auch in einem Schritt machen, ich persönlich habe aber immer erst am Schluss normiert ...
Schaue dir das Verfahren mal auf wikipedia an, da ist es ganz ordentlich erklärt; sonst ist ein Blick in die Vorlesungsmitschrift sicher hilfreich ...
Was die Dimension angeht, solltest du vorab prüfen, wie es mit der linearen Unabhängigkeit deiner gegebenen Vektoren aussieht ...
Dann nimm entsprechend eine Basis des Unterraumes und wende darauf Gram-Schmidt an, um eine ONB zu bekommen.
>
> dank und lg
>
> markus
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Mo 27.06.2011 | | Autor: | mwieland |
ok, also mit gram-schmidt orthogonalisieren, und dann alles nochmal normieren dann ist es orthonormal oder?
> Was die Dimension angeht, solltest du vorab prüfen, wie es
> mit der linearen Unabhängigkeit deiner gegebenen Vektoren
> aussieht ...
>
> Dann nimm entsprechend eine Basis des Unterraumes und wende
> darauf Gram-Schmidt an, um eine ONB zu bekommen.
was meinst man genau mit basis des unterraumes?
dank und lg
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Hallo nochmal,
> ok, also mit gram-schmidt orthogonalisieren, und dann alles
> nochmal normieren dann ist es orthonormal oder?
Ja, mit dem Gram-Schmidtschen OrthoGONalisierungsverfahren bekommst du paarweise orthogonale Vektoren, die musst du anschließend normieren.
Alternativ gibt es eine Variante:
Das G-S OrthoNORMalsisierungsverfahren, das liefert direkt paarweise orthogonale und normierte Vektoren.
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> > Was die Dimension angeht, solltest du vorab prüfen, wie es
> > mit der linearen Unabhängigkeit deiner gegebenen Vektoren
> > aussieht ...
> >
> > Dann nimm entsprechend eine Basis des Unterraumes und wende
> > darauf Gram-Schmidt an, um eine ONB zu bekommen.
>
> was meinst man genau mit basis des unterraumes?
Nun, diese gegebenen Vektoren erzeugen einen Unterraum, sie bilden aber, so wie ich das sehe, keine Basis; du solltest dir eine Basis aus den gegebenen Vektoren rauspicken und daraum GS anwenden.
>
> dank und lg
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Mo 27.06.2011 | | Autor: | mwieland |
ok danke bis hier!
wo liegt denn der unterschied zw. "orthonormalsystem" und "orthonormalbasis"?
lg mark
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:17 Mo 27.06.2011 | | Autor: | huzein |
Sei $V$ ein $K$-Vektorraum mit [mm] $\dim [/mm] V=n$ und [mm] $r\leq [/mm] n$. Eine Menge [mm] $S=\{p_1,...,p_r\}\subseteq [/mm] V$ heißt Orthonormalsystem (ONS), falls gilt
i. [mm] $p_i\perp p_j\quad i\neq [/mm] j$
ii. [mm] $\|p_i\|=1$$
[/mm]
[mm] $S=\{p_1,...,p_n\}$ [/mm] heißt Orthonormalbasis, wenn zusätzlich gilt span$(S)=V$.
Beachte dass ein ONS keinesfalls eine Basis zu sein braucht!
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