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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:44 Di 14.02.2012 | | Autor: | al3pou |
| Aufgabe | Geben Sie die Matrix S an, die eine Spiegelung an der x-z-Ebene
beschreibt. Eine Orthonormalbasis [mm] {\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}, \vec{u_{3}}} [/mm] des [mm] \IR^{3} [/mm] aus Eigenvektoren
von S wird gebildet durch [mm] \vec{u_{1}}=?, \vec{u_{2}}=? [/mm] und [mm] \vec{u_{3}}=? [/mm] mit den Eigenwerten
[mm] \lambda_{1} [/mm] =?, [mm] \lambda_{2} [/mm] =? und [mm] \lambda_{3} [/mm] =? |
Hallo,
also die Matrix für die Spiegelung müsste
S = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
sein.
Eine Orthonormalbasis ist doch eine Basis, die eine Raum
aufspannt und alle Vektoren die in aufspannen sind
orthogonal zueinander. Die Eigenvektoren zu der
Diagonalmatrix müssten doch einfach die Einheitsvektoren sein und
die Eigenwerte sind [mm] \lambda_{1,2} [/mm] = 1 [mm] \wedge \lambda_{3} [/mm] =
-1. Sehe ich das richtig? Aber wie berechnet man für andere
Matrizen die keine Diagonalmatrizen sind eine
Orthonormalbasis? Einfach Eigenvektoren ausrechnen und dann
daraus eine neue Matrix machen?
Gruß
al3pou
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 Di 14.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Geben Sie die Matrix S an, die eine Spiegelung an der
> x-z-Ebene
> beschreibt. Eine Orthonormalbasis [mm]{\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}, \vec{u_{3}}}[/mm]
> des [mm]\IR^{3}[/mm] aus Eigenvektoren
> von S wird gebildet durch [mm]\vec{u_{1}}=?, \vec{u_{2}}=?[/mm] und
> [mm]\vec{u_{3}}=?[/mm] mit den Eigenwerten
> [mm]\lambda_{1}[/mm] =?, [mm]\lambda_{2}[/mm] =? und [mm]\lambda_{3}[/mm] =?
>
> Hallo,
>
> also die Matrix für die Spiegelung müsste
>
> S = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> sein.
Ja
> Eine Orthonormalbasis ist doch eine Basis, die eine Raum
> aufspannt und alle Vektoren die in aufspannen sind
> orthogonal zueinander.
...... und normiert.....
Ist V ein endlichdimensionaler euklidischer oder unitärer Raum mit dem Skalarprodukt <*|*>, so ist eine Teilmenge B von V eine Orthonormalbasis von V, wenn gilt:
1. B ist eine Basis von V
2. <b|b> =1 für jedes b [mm] \in [/mm] B
3. <b,c>=0 für b,c [mm] \in [/mm] B mit b [mm] \ne [/mm] c.
> Die Eigenvektoren zu der
> Diagonalmatrix müssten doch einfach die Einheitsvektoren
> sein und
> die Eigenwerte sind [mm]\lambda_{1,2}[/mm] = 1 [mm]\wedge \lambda_{3}[/mm] =
> -1. Sehe ich das richtig?
Ja
> Aber wie berechnet man für
> andere
> Matrizen die keine Diagonalmatrizen sind eine
> Orthonormalbasis? Einfach Eigenvektoren ausrechnen und dann
> daraus eine neue Matrix machen?
nein. Eine ONB aus Eigenvektoren findest Du nur, wenn die Matrix diagonalisierbar ist.
FRED
>
> Gruß
> al3pou
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