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Orthonormalbasis: Verständnis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:37 So 22.04.2012
Autor: quasimo

Aufgabe
Frage: Wie bestimmt man eine Orthonormalbasis eines zweisimensionalen Teilraums?

Lerne grade für eine Prüfung, und verstehe nicht wie man so was macht!

Ich nehme mal an die linearkombination der beiden Funktionen ist [mm] f_1 [/mm] (x) =1 und [mm] f_2 [/mm] (x) = x bilden einen zweidimensionalen Teilraum des [mm] C([0,2\pi];\IC). [/mm] WIe kann man jetzt solch eine Orthogonalbasis dieses Teilraums bestimmen?

Skalarprodukt hatten wir in der Vorlesung:
<f,g> := [mm] \frac{1}{2\pi} [/mm] * [mm] \int_0^{2\pi} [/mm] f(x) [mm] \overline{g(x)}dx [/mm]

und [mm] \{e_k(x) = e^{ikx}, k \in \IZ\} [/mm] ist ein Orthogonalsystem in [mm] C([0,2\pi];\IC) [/mm]

        
Bezug
Orthonormalbasis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:50 Mo 23.04.2012
Autor: leduart

Hallo
1 ist schon normiert, also nimmst du 1 als eine Basis f1. jetz suchst du f2= a*x+b*1 und bestimmst a,b so dass <f1,f2>=0
dann musst du noch f2 normieren durch <f2,f2>=1
aber deine fkt liegen in R nicht in C
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
Orthonormalbasis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:04 Mo 23.04.2012
Autor: quasimo

Ganz versteh ich das nicht.

> 1 ist schon normiert, also nimmst du 1 als eine Basis f1. jetz suchst du f2= a*x+b*1 und bestimmst a,b so dass <f1,f2>=0

Warum muss f2 genauso dargestellt werden? wenn f2 = x, dass ist doch a=1 und b=0.
Die Linearkombination der beiden beiden funktionne ist ax*b*1, Meintest du das?

Wenn wir im reellen sind können wir das komplex konjungierte ja weglassen.
<f,g> := $ [mm] \frac{1}{2\pi} [/mm] $ * $ [mm] \int_0^{2\pi} [/mm] $ f(x) $ g(x)dx $
<1,x> = [mm] \frac{1}{2\pi} [/mm] $ * $ [mm] \int_0^{2\pi} [/mm] 1*xdx
<1,x> = [mm] \frac{1}{2\pi} [/mm] * [mm] 2\pi^2 [/mm]
<1,x> = [mm] \pi [/mm]
Ich schätze, das ist ganz falsch..

Kannst du mir das vlt. nochmal erklären?

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Orthonormalbasis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:29 Mo 23.04.2012
Autor: leduart

Hallo
du suchst doch nicht irgend ein Basis, die hast du mit 1 und x da sie lin. unabhängig sind. sondern du suchst eine Orthonormalbasis, also eine, wo die 2 Basisvektoren orthogonal sind. Du hast mit deiner rechnung gerade festgestellt dass 1 und x mit dem gegebenen skalarprodukt nicht orthogonal sind. aber dein Unterraum enthät nur 1, x und alle Linearkombinationen davon. unter denen suchst du jetzt eine, die orth. zu 1 ist. was ist die bedungung für orthogonal?
wenn du einen UR des [mm] R^3 [/mm] hast mit den 2 vektoren (1,2,3) und (1,2,4) wie findest du da eine Orthonormalbasis?

ich hoffe das war nur ein Tipfehler
!Die Linearkombination der beiden beiden funktionne ist ax*b*1!
richtig ist ax+b*1
Gruss leduart
Gruss leduart

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Orthonormalbasis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:49 Mo 23.04.2012
Autor: quasimo

Hallo nochmal
Okay

0=<ax+b*1,1> = [mm] 1/2\pi [/mm] * [mm] \int_0^{2\pi} [/mm] ax + b dx
= [mm] 1\2/pi [/mm] * ( [mm] \frac{a*4\pi^2}{2}+b*2\pi) [/mm]
= [mm] \pi [/mm] *a + b

[mm] 0=\pi*a [/mm] + b
kann ich jetzt a und b so wählen?
a= 1
b= - [mm] \pi [/mm]

Linearkombination x* 1 - [mm] \pi [/mm] * 1, die normal zu 1 ist

Jetzt meintest du noch etwas mit nomieren.
|| x* 1 - [mm] \pi [/mm] * 1|| = [mm] \wurzel( Muss ich jetzt das Skalarprodukt wie oben von dem ausrechnen, dann Wurzelziehen und dann
x*1 - [mm] \pi [/mm] durch die Norm dividieren?

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Orthonormalbasis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:28 Mo 23.04.2012
Autor: leduart

Hallo
a,b richtig. die Frage solltest du selbst beantworten können.
weil du ja weisst wann ein vektor die Öänge 1 hat
gruss leduart

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Bezug
Orthonormalbasis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:02 Mo 23.04.2012
Autor: quasimo


> dann musst du noch f2 normieren durch <f2,f2>=1

Ich habe nun die Linearkombination x* 1 - $ [mm] \pi [/mm] $ * 1, die normal zu 1 ist .

Nun müssen beide die Länge 1 haben. Die zweite Orthonormalbasis hat die Länge 1.

Jetzt muss ich doch [mm] x-\pi [/mm] durch seine Länge dividieren?
Die Länge eines reellen terms ist doch der Betrag des Terms, aber wie ist das bei funktionen?


Bezug
                                                        
Bezug
Orthonormalbasis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:08 Mo 23.04.2012
Autor: MathePower

Hallo quasimo,

> > dann musst du noch f2 normieren durch <f2,f2>=1
>
> Ich habe nun die Linearkombination x* 1 - [mm]\pi[/mm] * 1, die
> normal zu 1 ist .
>  
> Nun müssen beide die Länge 1 haben. Die zweite
> Orthonormalbasis hat die Länge 1.
>  
> Jetzt muss ich doch [mm]x-\pi[/mm] durch seine Länge dividieren?
>  Die Länge eines reellen terms ist doch der Betrag des
> Terms, aber wie ist das bei funktionen?
>  


Die Länge rechnest Du mit Hilfe des definierten Skalarproduktes aus:

[mm] := \frac{1}{2\pi}* \int_0^{2\pi} \left(x-\pi\right)*\left(x-\pi\right) dx [/mm]

Dann ist die Länge die Wurzel  daraus.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
Orthonormalbasis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:21 Mo 23.04.2012
Autor: quasimo

|| x* 1 - $ [mm] \pi [/mm] $ * 1|| = $ [mm] \wurzel{}( Skalarprodukt wie oben von dem ausrechnen, dann Wurzelziehen und dann
x - $ [mm] \pi [/mm] $ durch die Norm dividieren.

Oder?

Bezug
                                                                        
Bezug
Orthonormalbasis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:27 Mo 23.04.2012
Autor: MathePower

Hallo quasimo,

> || x* 1 - [mm]\pi[/mm] * 1|| = [mm]\wurzel{}(
> >)
>  Skalarprodukt wie oben von dem ausrechnen, dann
> Wurzelziehen und dann
>  x - [mm]\pi[/mm] durch die Norm dividieren.
>  
> Oder?


Ja.


Gruss
MathePower

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