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| Aufgabe | Gegeben sind die Vektoren x,y,z [mm] \in \IR^3 [/mm] sowie die Matrix H [mm] \in \IR^{3*3} [/mm] mit
x= [mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ x3} [/mm] , y= [mm] \vektor{0 \\ 1/\wurzel{5} \\ 2/\wurzel{5}},
[/mm]
z= [mm] \vektor{1/\wurzel{6} \\ -2/\wurzel{6} \\ 1/\wurzel{6}},
[/mm]
H= [mm] \pmat{ 0 & 1/\wurzel{5} & 2/\wurzel{5}\\ x1 & x2 & x3\\ 1/\wurzel{6} & -2/\wurzel{6} & 1/\wurzel{6}}
[/mm]
Bestimmen Sie [mm] \{x1,x2,x3\} [/mm] so, dass x,y,z eine Orthonormalbais des [mm] \IR^3 [/mm] bildet. |
Hallo Leute,
ich komme gerade an der Aufgabe nicht weiter. Habe zwar die Lösung, aber das bringt mir nicht viel. Diese Aufgabe habe ich irgendwann mal gemacht und dazu geschrieben Skalarprodukt! Jetzt weiss ich aber nicht, was ich damit anfangen soll, oder ob das überhaupt stimmt. Mit dem Schmidtschen Orthonomierungsverfahren habe ich es auch versuch, aber kam schon sehr früh komische Sachen raus.
Das Skalarprodukt wird 0, wenn die Vektoren orthogonal zueinander sind, oder? Bringt mich das weiter?
Vielen Dank!
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Hallo derahnungslose,
> Gegeben sind die Vektoren x,y,z [mm]\in \IR^3[/mm] sowie die Matrix
> H [mm]\in \IR^{3*3}[/mm] mit
>
> x= [mm]\vektor{x1 \\
x2 \\
x3}[/mm] , y= [mm]\vektor{0 \\
1/\wurzel{5} \\
2/\wurzel{5}},[/mm]
>
> z= [mm]\vektor{1/\wurzel{6} \\
-2/\wurzel{6} \\
1/\wurzel{6}},[/mm]
>
> H= [mm]\pmat{ 0 & 1/\wurzel{5} & 2/\wurzel{5}\\
x1 & x2 & x3\\
1/\wurzel{6} & -2/\wurzel{6} & 1/\wurzel{6}}[/mm]
>
> Bestimmen Sie [mm]\{x1,x2,x3\}[/mm] so, dass x,y,z eine
> Orthonormalbais des [mm]\IR^3[/mm] bildet.
> Hallo Leute,
>
> ich komme gerade an der Aufgabe nicht weiter. Habe zwar die
> Lösung, aber das bringt mir nicht viel. Diese Aufgabe habe
> ich irgendwann mal gemacht und dazu geschrieben
> Skalarprodukt!
Das ist doch schonmal eine gute Idee!
> Jetzt weiss ich aber nicht, was ich damit
> anfangen soll,
Wieso nicht?
> oder ob das überhaupt stimmt. Mit dem
> Schmidtschen Orthonomierungsverfahren habe ich es auch
> versuch, aber kam schon sehr früh komische Sachen raus.
> Das Skalarprodukt wird 0, wenn die Vektoren orthogonal
> zueinander sind, oder?
Aha!
> Bringt mich das weiter?
Klar!
Berechne doch mal paarweise das Skalarprodukt.
Es muss [mm]xy=0[/mm] sein und [mm]xz=0[/mm] und [mm]yz=0[/mm]. Letzteres sieht man direkt.
Die ersten beiden Gleichungen liefern dir unendlich viele Lösungen für [mm]x_1,x_2,x_3[/mm].
Damit hast du einen riesigen Haufen orthogonaler Vektoren.
[mm]y[/mm] und [mm]z[/mm] sind ja schon normiert.
Finde unter all den Kandidaten für [mm]x[/mm] dann denjenigen mit Länge 1 ...
>
> Vielen Dank!
Gruß
schachuzipus
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