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Hallo, ich hab gerade ne Aufgabe gelöst, die ich am Diensatag abgeben muss. Allerdings kommt da bei mir ein sehr seltsames Ergebnis heraus. Kannst du dir das bitte mal ansehen und mir dann schreiben ob ich richtig gerechnet habe. Danke schon mal
Die Aufgabe:
Sei U der von den Vektoren [mm] v_{1}=(2,0,1,2)^{T} [/mm] und [mm] v_{2}=(1,2,2,4)^{T} [/mm] aufgespannte Untervektorraumes des [mm] R^{4}.
[/mm]
a) bestimmen Sie die Orthonormalbasis von U.
Meine Rechnung:
[mm] v_{1}= u_{1}=(2,0,1,2)^{T}
[/mm]
[mm] u_{1}*u_{1}=9
[/mm]
[mm] w_{1}= \bruch{1}{3}*(2,0,1,2)^{T}
[/mm]
[mm] u_{2}= \vektor{1 \\ 2 \\ 2 \\ 4} [/mm] - [mm] (\vektor{1 \\ 2 \\ 2 \\ 4} [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1 \\ 2})/9 [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1 \\ 4}= \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \vektor{-5 \\ 6 \\ 2 \\ 4}
[/mm]
[mm] w_{2}= \bruch{1}{9}*\vektor{-5 \\ 6 \\ 2 \\ 4}
[/mm]
b) Berechnun Sie die Orthonormalprojektion des Vektors [mm] x=(3,1,0,2)^{T} [/mm] auf U.
Meine Rechnung:
[mm] Px=(x,w_{1})w_{1} [/mm] + [mm] (x,w_{2})w_{2}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{9}*(\vektor{3 \\ 1 \\ 0 \\ 2} [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1 \\ 2} [/mm] ) * [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1 \\ 2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{81}*(\vektor{3 \\ 1 \\ 0 \\ 2} [/mm] * [mm] \vektor{-5 \\ 2 \\ 2 \\ 4} [/mm] ) * [mm] \vektor{-5 \\ 2 \\ 2 \\ 4}
[/mm]
Und das Ergebnis aus der Rechnung (das ich etwas komisch finde):
[mm] \bruch{1}{81}*(\vektor{205 \\ -10 \\ 80 \\ 160}
[/mm]
c) Es sein nun [mm] \partial: R^{4} [/mm] -> [mm] R^{4} [/mm] die orthogonale Projektion von [mm] R^{4} [/mm] auf dem Untervektorraum U. Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix von [mm] \delta [/mm] bezüglich der Standartbasis des [mm] R^{4}.
[/mm]
Wie man das macht hab ich keine Ahnung. Wenn mir da jemand nen Ansatz geben könnte oder ne Formel wäre ich sehr dankbar.
Also nochmals schon mal im vorraus vielen Dank für die Hilfe.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:13 So 22.05.2005 | | Autor: | NECO |
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Hallo, ich hab gerade ne Aufgabe gelöst, die ich am Diensatag abgeben muss. Allerdings kommt da bei mir ein sehr seltsames Ergebnis heraus. Kannst du dir das bitte mal ansehen und mir dann schreiben ob ich richtig gerechnet habe. Danke schon mal
Die Aufgabe:
Sei U der von den Vektoren [mm] v_{1}=(2,0,1,2)^{T} [/mm] und [mm] v_{2}=(1,2,2,4)^{T} [/mm] aufgespannte Untervektorraumes des [mm] R^{4}. [/mm]
a) bestimmen Sie die Orthonormalbasis von U.
Meine Rechnung:
[mm] v_{1}= u_{1}=(2,0,1,2)^{T} [/mm]
[mm] u_{1}*u_{1}=9 [/mm]
[mm] w_{1}= \bruch{1}{3}*(2,0,1,2)^{T} [/mm]
Bis hierhin sieht ok aus.!!
[mm] u_{2}= \vektor{1 \\ 2 \\ 2 \\ 4} [/mm] - [mm] (\vektor{1 \\ 2 \\ 2 \\ 4} [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1 \\ 2})/9 [/mm] * $ [mm] [red]\vektor{2 \\ 0 \\ 1 \\ 4}[/red]$= \bruch{1}{3} *\vektor{-5 \\ 6 \\ 2 \\ 4}
[/mm]
Hie ist eine Fehler, Ich glaube das ist eine Tipfehler.  Also von hier noch mal anfangen . REst kannst du bestimmt. wenn nicht frag ruhig.
[mm] w_{2}= \bruch{1}{9}*\vektor{-5 \\ 6 \\ 2 \\ 4} [/mm]
b) Berechnun Sie die Orthonormalprojektion des Vektors [mm] x=(3,1,0,2)^{T} [/mm] auf U.
Meine Rechnung:
[mm] Px=(x,w_{1})w_{1} [/mm] + [mm] (x,w_{2})w_{2} [/mm]
[mm] \bruch{1}{9}*(\vektor{3 \\ 1 \\ 0 \\ 2} [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1 \\ 2} [/mm] ) * [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1 \\ 2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{81}*(\vektor{3 \\ 1 \\ 0 \\ 2} [/mm] * [mm] \vektor{-5 \\ 2 \\ 2 \\ 4} [/mm] ) * [mm] \vektor{-5 \\ 2 \\ 2 \\ 4} [/mm]
Und das Ergebnis aus der Rechnung (das ich etwas komisch finde):
[mm] \bruch{1}{81}*(\vektor{205 \\ -10 \\ 80 \\ 160} [/mm]
c) Es sein nun [mm] \partial: R^{4} [/mm] -> [mm] R^{4} [/mm] die orthogonale Projektion von [mm] R^{4} [/mm] auf dem Untervektorraum U. Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix von [mm] \delta [/mm] bezüglich der Standartbasis des [mm] R^{4}. [/mm]
Wie man das macht hab ich keine Ahnung. Wenn mir da jemand nen Ansatz
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