Orthonormalbasis finden < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Fr 16.04.2010 | | Autor: | natascha |
| Aufgabe | Sei A (2 1
1 2)
Man finde eine OrthoNOrmalbasis von R² bezüglich der durch A definierten Bilinearform (X hoch t)*A*Y |
Ich habe eine Frage zu der obenstehenden Aufgabe. Ich habe diese Aufgabe gelöst, jedoch weiss ich nicht, ob ich das so richtig ist...
Ich bin folgendermassen vorgegangen:
1) Wahl einer beliebigen Basis, ich wähle v1=(1 0) und v2=(0 1)
Eigentlich müsste ich diese beiden Vektoren nun normieren, jedoch habe ich sie so gewählt, dass sie bereits Betrag 1 haben.
Nun muss ich v2' finden, so dass <v1, v2'>, so dass v1 und v2' orthogonal sind.
v2'=v2+cv1 -> ich muss ein geeignetes c finden
0=<v1,v2'> = <v1,v2+cv1> = <v1,v2> + c<v1,v1>
Wir wissen, dass <v1,v1> 1 ergibt, also ist c=-<v1,v2>
Also gilt
v2'=v2-<v1,v2>v1= v2- (v1 hoch t)Av2v1= (-2 -1)
Diesen Vektor normiere ich nun auf Länge 1:
v2'' = v2'/||v2'|| = 1/sqrt(5) * (-2 -1)
--> also bilden v1=(1 0) und v2'' eine Orthonormalbasis.
Stimmt das so oder geht da bei dem normieren was schief? Ich bin mir da nicht sicher, wann man genau normieren muss und inwiefern man dabei Matrix A einbezieht...freue mich auf Erklärungen :)
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo natascha,
> Sei A (2 1
> 1 2)
> Man finde eine OrthoNOrmalbasis von R² bezüglich der
> durch A definierten Bilinearform (X hoch t)*A*Y
> Ich habe eine Frage zu der obenstehenden Aufgabe. Ich habe
> diese Aufgabe gelöst, jedoch weiss ich nicht, ob ich das
> so richtig ist...
> Ich bin folgendermassen vorgegangen:
> 1) Wahl einer beliebigen Basis, ich wähle v1=(1 0) und
> v2=(0 1)
> Eigentlich müsste ich diese beiden Vektoren nun
> normieren, jedoch habe ich sie so gewählt, dass sie
> bereits Betrag 1 haben.
> Nun muss ich v2' finden, so dass <v1, v2'>, so dass v1 und
> v2' orthogonal sind.
> v2'=v2+cv1 -> ich muss ein geeignetes c finden
> 0=<v1,v2'> = <v1,v2+cv1> = <v1,v2> + c<v1,v1>
> Wir wissen, dass <v1,v1> 1 ergibt, also ist c=-<v1,v2>
Leider ist [mm]\not=1[/mm]
> Also gilt
> v2'=v2-<v1,v2>v1= v2- (v1 hoch t)Av2v1= (-2 -1)
> Diesen Vektor normiere ich nun auf Länge 1:
> v2'' = v2'/||v2'|| = 1/sqrt(5) * (-2 -1)
> --> also bilden v1=(1 0) und v2'' eine Orthonormalbasis.
> Stimmt das so oder geht da bei dem normieren was schief?
> Ich bin mir da nicht sicher, wann man genau normieren muss
> und inwiefern man dabei Matrix A einbezieht...freue mich
Mit Hilfe der Matrix A ist das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren definiert worden:
[mm]:=v_{1}^{T}Av_{2}[/mm]
> auf Erklärungen :)
> Vielen Dank im Voraus!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Di 20.04.2010 | | Autor: | neu_ling |
ich versuche das noch einmal nachzuvollziehen:
Die Bedingungen für [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] bezüglich ihrer Normen sind bereits durch die Wahl erfüllt.
Nun suchen wir [mm] v_{2}':
[/mm]
0 = [mm] [/mm] = [mm] [/mm] = [mm] [/mm] + [mm] c*
[/mm]
Bezüglich unserer Bilinearform bedeutet das also:
[mm] v_{1}^T*A*v_{2} [/mm] + [mm] c*v_{1}^T*A*v_{1} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow c=-\bruch{1}{2}
[/mm]
Somit ist [mm] v_{2}' [/mm] nun gefunden und muss nur noch normiert werden?
[mm] (v_{1},|v_{2}'|) [/mm] wäre dann die entsprechende Orthonormalbasis?
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> ich versuche das noch einmal nachzuvollziehen:
> Die Bedingungen für [mm]v_{1}[/mm] und [mm]v_{2}[/mm] bezüglich ihrer
> Normen sind bereits durch die Wahl erfüllt.
Hallo,
wie hast Du denn [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] gewählt?
Wie natascha? Die beiden Standardbasisvektoren des [mm] \IR^2? [/mm] Bzgl. des durch A defineirten Skalarproduktes sind sie nicht normiert - was aber kein Drama ist, denn man kan sie ja bei Bedarf normieren.
Du hast also die Standardbasis des [mm] \IR^2 [/mm] genommen.
> Nun suchen wir [mm]v_{2}':[/mm]
mit dem Ziele, daß [mm] v_1 v_2' [/mm] bzgl des durch A definierten Skalarproduktes orthogonal sind.
> 0 = [mm][/mm] = [mm][/mm] = [mm][/mm]
> + [mm]c*[/mm]
> Bezüglich unserer Bilinearform bedeutet das also:
> [mm]v_{1}^T*A*v_{2}[/mm] + [mm]c*v_{1}^T*A*v_{1}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow c=-\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Somit ist [mm]v_{2}'[/mm] nun gefunden und muss nur noch normiert
> werden?
Ja. Und [mm] v_1=v_1' [/mm] muß auch normiert werden.
> [mm](v_{1},|v_{2}'|)[/mm] wäre dann die entsprechende
> Orthonormalbasis?
Ja. Natürlich nicht "die" ONB, sondern "eine".
Gruß v. Angela
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