Orthonormalisierungsverfahren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:39 Di 02.05.2006 | | Autor: | Lysienne |
| Aufgabe | V sei der Unterraum von C"hoch 0"([0,1]), der von {f0,f1,f2,f3} mit fn(x) = x"hoch n" aufgespannt wird.
Das Skalarprodukt sei gegeben durch <f,g>= [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] f(x)g(x)dx.
Berechnen sie die Orthonormalbasis von V. |
Hallo.
Wir haben das Orthonormalisierungsverfahren nach E.Schmidt bereits in der Vorlesung besprochen, d.h. wir dürfen es ohne Probleme verwenden.
Jedoch lernten wir es nur in Bezug auf Vektorenrechnung kennen und in der Aufgabe sind ja die Funktionen f0(x)=1
f1(x)=x
f2(x)=x"hoch 2"
f3(x)=x"hoch 3" gegeben.
Nun könnte man ja einerseits diese Funktionen als Vektoren darstellen (wegen Isomorphismus), so würde bspw. aus f0 der Vektor (0,0,0,1) werden.
Bei dieser Variante hätte ich nun aber Probleme, das Skalarprodukt miteinzubeziehen, da es sich ja wiederum auf Funktionen bezieht.
Eine zweite Idee wäre,zu erklären, dass man das O.-verfahren von E.Schmidt einfach auch auf Funktionen anwenden kann, aber das müsste man ja erst noch beweisen und so ein Beweis fällt mir nicht ein...
Ich hoffe mir kann irgendjemand helfen, und wäre sehr froh, wenn ich hier einen Platz gefunden haben sollte, der mich mathematisch weiterbringt.
Vielen vielen Dank im Voraus
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Hallo lysienne,
> V sei der Unterraum von C"hoch 0"([0,1]), der von
> {f0,f1,f2,f3} mit fn(x) = x"hoch n" aufgespannt wird.
> Das Skalarprodukt sei gegeben durch <f,g>=
> [mm]\integral_{0}^{1}[/mm] f(x)g(x)dx.
> Berechnen sie die Orthonormalbasis von V.
Gut.
> Hallo.
> Wir haben das Orthonormalisierungsverfahren nach E.Schmidt
> bereits in der Vorlesung besprochen, d.h. wir dürfen es
> ohne Probleme verwenden.
> Jedoch lernten wir es nur in Bezug auf Vektorenrechnung
> kennen und in der Aufgabe sind ja die Funktionen f0(x)=1
> f1(x)=x
>
> f2(x)=x"hoch 2"
>
> f3(x)=x"hoch 3" gegeben.
> Nun könnte man ja einerseits diese Funktionen als Vektoren
> darstellen (wegen Isomorphismus), so würde bspw. aus f0 der
> Vektor (0,0,0,1) werden.
> Bei dieser Variante hätte ich nun aber Probleme, das
> Skalarprodukt miteinzubeziehen, da es sich ja wiederum auf
> Funktionen bezieht.
>
> Eine zweite Idee wäre,zu erklären, dass man das
> O.-verfahren von E.Schmidt einfach auch auf Funktionen
> anwenden kann, aber das müsste man ja erst noch beweisen
> und so ein Beweis fällt mir nicht ein...
Nein, eigentlich ist es ganz leicht: Das ON-Verfahren von Gram-Schmidt funktioniert grundsätzlich für Vektorräume mit skalarprodukt. In diesem Fall hast du als vektorraum den raum der auf $[0;1]$ stetigen funktionen zusammen mit dem skalarprodukt, das durch das integral definiert ist. du musst also nichts neu beweisen....
VG
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:28 Fr 05.05.2006 | | Autor: | Lysienne |
Vielen Dank für die Antwort. Ich habe die Aufgabe gestern abgegeben und habe das Verfahren ohne weitere Begründung verwendet.
Na mal sehen, was die Bewertung bringen wird :)
Mfg,
Lysienne
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