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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:35 Di 19.03.2013 | | Autor: | Hero991 |
| Aufgabe | Es sei V [mm] =\IR^3 [/mm] mit dem Skalarprodukt σ , dass zur Gramschen Matrix
[mm] A=\pmat{ 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4}
[/mm]
gehört. Wenden Sie das Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsverfahren auf die folgende Menge von Vektoren in (V, σ) an:
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ -1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1}, [/mm] |
Guten Abend,
Zu der Aufgabe oben habe ich einen Ansatz und würde gerne wissen, ob er richtig ist:
Der Algorithmus vom Orthonormalisierungsverfahren ist ja:
[mm] v_n [/mm] - [mm] \sum_{i=1}^{n-1} σ(v_n [/mm] , [mm] u_i) u_i
[/mm]
Bei der Aufgabe ist, dass Skalarprodukt ja die Matrix A. Also muss ich jedes [mm] v_n [/mm] mit der Matrix Multiplizieren und das Ergebnis multipliziere ich mit [mm] u_i [/mm] .
Ist der Ansatz korrekt? Wenn nicht, was muss ich machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:23 Mi 20.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Es sei V [mm]=\IR^3[/mm] mit dem Skalarprodukt σ , dass zur
> Gramschen Matrix
>
> [mm]A=\pmat{ 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4}[/mm]
>
> gehört. Wenden Sie das
> Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsverfahren auf die folgende
> Menge von Vektoren in (V, σ) an:
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ -1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1},[/mm]
>
> Guten Abend,
>
> Zu der Aufgabe oben habe ich einen Ansatz und würde gerne
> wissen, ob er richtig ist:
>
> Der Algorithmus vom Orthonormalisierungsverfahren ist ja:
> [mm]v_n[/mm] - [mm]\sum_{i=1}^{n-1} σ(v_n[/mm] , [mm]u_i) u_i[/mm]
Wo steht den da ein Algorithmus ?????
Mach Dich da schlau:
http://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren
>
> Bei der Aufgabe ist, dass Skalarprodukt ja die Matrix A.
Nein. Die Matrix ist nicht das Skalarprodukt, sondern durch A wird ein Skalarprodukt
$<*|*>_A$
definiert:
[mm] _A:=x^T(Ay)
[/mm]
FRED
> Also muss ich jedes [mm]v_n[/mm] mit der Matrix Multiplizieren und
> das Ergebnis multipliziere ich mit [mm]u_i[/mm] .
>
> Ist der Ansatz korrekt? Wenn nicht, was muss ich machen?
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 Mi 20.03.2013 | | Autor: | Hero991 |
Okay danke,
Ich hab die Aufgabe so angefangen wie auf Wikipedia Seite, Punkt 3.1 beschrieben würde. Kann mal jemand drüber gucken ob es, so richtig ist?
[mm] u_1 [/mm] = [mm] \vektor{1/\wurzel{2} \\ 1/\wurzel{2} \\ 0}
[/mm]
v'_2= [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] - [mm] (\vektor{1/\wurzel{2} \\ 1/\wurzel{2} \\ 0} \cdot (\pmat{ 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4} \cdot \vektor{0 \\ 1 \\ 1})) \cdot \vektor{1/\wurzel{2} \\ 1/\wurzel{2} \\ 0}
[/mm]
Ich hab das Ergebnis noch nicht ausgerechnet. Ich wollte erstmal wissen, ob es richtig ist was ich da mache.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Mi 20.03.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
im Prinzip richtig, aber dein Vektor y ist anders ( ein Minus fehlt) aks in der orginalaufgabe.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Mi 20.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Okay danke,
> Ich hab die Aufgabe so angefangen wie auf Wikipedia Seite,
> Punkt 3.1 beschrieben würde. Kann mal jemand drüber
> gucken ob es, so richtig ist?
>
> [mm]u_1[/mm] = [mm]\vektor{1/\wurzel{2} \\ 1/\wurzel{2} \\ 0}[/mm]
Du normierst falsch ! Ist [mm] a=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, [/mm] so ist
[mm] ||a||_A^2=_A
[/mm]
FRED
>
> v'_2= [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm] - [mm](\vektor{1/\wurzel{2} \\ 1/\wurzel{2} \\ 0} \cdot (\pmat{ 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4} \cdot \vektor{0 \\ 1 \\ 1})) \cdot \vektor{1/\wurzel{2} \\ 1/\wurzel{2} \\ 0}[/mm]
>
>
> Ich hab das Ergebnis noch nicht ausgerechnet. Ich wollte
> erstmal wissen, ob es richtig ist was ich da mache.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Mi 20.03.2013 | | Autor: | Hero991 |
Okay, also muss ich folgendes machen:
[mm] u_1= \pmat{ 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4} \cdot (\bruch{1}{\wurzel{1^2+1^2}}\cdot \vektor{1 \\ 1 \\0}) [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4} \cdot \vektor{1/\wurzel{2} \\ 1/\wurzel{2} \\ 0} [/mm]
oder?
Ich steh mit der Definition bisschen auf dem Schlauch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Mi 20.03.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
berechne mal zuerst Betrag von v1 mit
[mm] (1,1,0)*\pmat{ 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4}*\vektor{1 \\ 1\\ 0}
[/mm]
Nicht mit dem "normalen" Betrag.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Mi 20.03.2013 | | Autor: | Hero991 |
Okay, danke für die Hilfe.
d.h.
[mm] v_1= (1,1,0)\cdot{}\pmat{ 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4}\cdot{}\vektor{1 \\ 1\\ 0} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0}\cdot{}\vektor{1 \\ 1\\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 3\\ 0}.
[/mm]
Dass müsste ich jetzt normalisieren, oder?
Das wäre dann:
[mm] u_1= \bruch{1}{\wurzel{3^2+3^2}}\cdot \vektor{3 \\ 3 \\0}
[/mm]
Danach würde ich bereits oben erwähnt weiter verfahren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Mi 20.03.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, jetzt weiter. wie du sehen kannst, wenn du kürzt ist es dasselbe wie der normale Betrag
Gruss leduart
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