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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Di 05.02.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo alle zusammen!
Wir haben vor einiger Zeit in den Übungen, gezeigt, dass, wenn [mm] e_i, i \in \mathbb N [/mm] ein Orthonormalsystem Im Hilbert-Raum H ist, dann gilt für [mm] x \in H [/mm]
[mm] \summe_{i \in \mathbb N } | \langle x, e_i \rangle |^2 \le \| x \|^2
[/mm]
In der Lösung dazu wird unterschieden zwischen dem Fall , wo es ein maximales Orthonormalsystem ist und nicht ist...
Die Lösung:
Entweder [mm] e_i, i \in \mathbb N [/mm] ist ein maximales Orthonormalsystem, dann gilt:
[mm] \summe_{i \in \mathbb N } | \langle x, e_i \rangle |^2 = \| x \|^2
[/mm]
( Warum gilt hier gleich? )
Oder [mm] e_i, i \in N [/mm] ist nicht maximales Orthonormalsystem, dann gibt es [mm] e_i, i \in I [/mm], die die [mm] e_i, i \in \mathbb N [/mm] zu einem maximalen Orthonormalsystem vervollständigen.
Dann folgt
[mm] \summe_{i \in \mathbb N \cup I } | \langle x, e_i \rangle |^2 = \| x \|^2
[/mm]
Dann ist
[mm] [mm] \summe_{i \in \mathbb N } | \langle x, e_i \rangle |^2 + \summe_{i \in I } | \langle x, e_i \rangle |^2 = \| x \|^2
[/mm]
Und schließlich
[mm] \summe_{i \in \mathbb N } | \langle x, e_i \rangle |^2 \le \| x \|^2
[/mm]
Ich verstehe hierbei nicht den Unterschied zwischen einem max. und nicht max. ON-System. Darf man denn einfach so ein System vervollständigen? U
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Di 05.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Ich verstehe hierbei nicht den Unterschied zwischen einem max. und nicht max. ON-System. Darf man denn einfach so ein System vervollständigen?
Ein Orthonormalsystem ist irgendeine Menge paarweise senkrechter Vektoren (mit Norm 1) im Hilbertraum H. Die lineare Hülle eines ONS muss nicht den gesamten Raum aufspannen (in endlich vielen Dimensionen) oder dicht in H liegen. Zum Beispiel kann ein ONS im [mm] $\IR^n$ [/mm] aus weniger als n Vektoren bestehen, dann spannt es nur einen Unterraum auf.
Anderes Beispiel: die Funktionen [mm] $\bruch{1}{\sqrt{\pi}}\cos(nx) [/mm] $ auf dem Intervall [mm] $[-\pi,+\pi]$ [/mm] sind paarweise orthogonal, aber sie spannen nicht den gesamten Hilbertraum auf, es fehlen noch [mm] $\bruch{1}{\sqrt{2\pi}}$ [/mm] und [mm] $\bruch{1}{\sqrt{\pi}}\sin(nx) [/mm] $.
Bei einem maximalen Orthonormalsystem besteht das orthogonale Komplement seiner linearen Hülle nur aus dem Nullvektor, das heisst, nur der Nullvektor ist orthogonal zu allen Linearkombinationen, die ich bilden kann. In einem Hilbertraum ist das äquivalent dazu, dass es sich um eine Orthogonalbasis (ein vollständiges ONS) handelt. In einem Hilbertraum lässt sich jedes ONS zu einem ONB erweitern.
Hilft dir das weiter?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Di 05.02.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Danke für diese ausführliche Erklärung!
Jetzt ist mir das einigermaßen klar...
Nur noch eine Frage dazu:
Die Gleichung, heißt das, dass ich jedes Element aus H als Linearkombination der Basisvektoren darstellen kann? Oder wie kann ich diese Gleichung interpretieren?
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 Mi 06.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Die Gleichung, heißt das, dass ich jedes Element aus H als
> Linearkombination der Basisvektoren darstellen kann? Oder
> wie kann ich diese Gleichung interpretieren?
Du meinst, als Linearkombination eines vollständigen ONS, also einer ONB, nehme ich an?
In endlich vielen Dimensionen ist das immer möglich.
In einem unendlich-dimensionalen Hilbertraum H liegt die Menge aller Linearkombinationen der Basisvektoren einer ONB dicht in H, das heisst, der Abschluss dieser Menge ist der gesamte Raum H. Soweit ich weiss, liegt das daran, dass die ONB abzählbar viele Elemente hat, während du zur Darstellung aller Vektoren eines Hilbertraums eventuell überabzählbar viele Summanden brauchst.
Viele Grüße
Rainer
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