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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:01 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Docci |
| Aufgabe | Bei der Separation der Potentialgleichung in Kugelkoordinaten spielt die Legendresche Differentialgleichung [mm] (1-t^{2})y''-2ty'+n(n+1)y=0 [/mm] , [mm] -1\le t\le [/mm] 1 für [mm] n\in\IN_{0} [/mm] eine Rolle, deren Fundamentalsystem aus dem Legendre-Polynom [mm] P_{n}(t)=\bruch{1}{2^{n}n!} \bruch{d^{n}}{dt^{n}}(t^{2}-1)^{n} [/mm] (Formel von Rodrigues) und der sog. Legendre-Funktion 2. Art (kein Polynom!) besteht.
a) Zeigen Sie, dass die Funktionen [mm] (f_{n})_{n\in\IN_{0}} [/mm] mit [mm] f_{n}(t)=\wurzel{\bruch{2n+1}{2}}P_{n}(t) [/mm] ein orthonormiertes System in [mm] L_{2}(-1,1) [/mm] bilden.
Hinweis zu a): Zeigen Sie [mm] (f_{n}|f_{m})=0 [/mm] für n<m, indem Sie zunächst [mm] \integral_{-1}^{1}{t^{k}P_{m}(t)dt}=0 [/mm] für jedes natürliche k mit [mm] 0\le k\le [/mm] n zeigen |
Hallo!
Ich habe eine Frage zu dem Hinweis. Woher kommt dort das [mm] t^{k} [/mm] ?
Ich habe nun versucht dem Hinweis zu folgen, allerdings kam mir meine Lösung etwas zu einfach vor und meistens bedeutet dies, dass ich etwas falsch gemacht habe...
[mm] \integral_{-1}^{1}{t^{k}P_{m}(t) dt}=\integral_{-1}^{1}{t^{k}\bruch{1}{2^{m}m!}\bruch{d^{m}}{dt^{m}}(t^{2}-1)^{m} dt} [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{1}{t^{k}\bruch{1}{2^{m}m!} dt} \integral_{-1}^{1}{\bruch{d^{m}}{dt^{m}}(t^{2}-1)^{m} dt} [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{1}{t^{k}\bruch{1}{2^{m}m!} dt} [\bruch{d^{m-1}}{dt^{m-1}}(t^{2}-1)^{m}]_{-1}^{1} [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{1}{t^{k}\bruch{1}{2^{m}m!} dt} \*0 [/mm] = 0
schonmal vielen Dank für eure Mühe, Tipps und Hinweise
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:25 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Ich habe eine Frage zu dem Hinweis. Woher kommt dort das $ [mm] t^{k} [/mm] $ ?
[mm] $\langle f_n,f_m\rangle [/mm] = A [mm] \int_{-1}^1P_n(t)P_m(t)\ [/mm] dt=$
(A ist ne Konstante)
[mm] $P_n(t)$ [/mm] ist ein Polynom, also von der Gestalt [mm] $\sum_{i=0}^N a_ix^i$ [/mm] (was ist N in diesem Fall?)
[mm] $=A_2\sum_{i=0}^N a_i\int_{-1}^1 t^i \bruch{d^{m}}{dt^{m}}(t^{2}-1)^{m}\ [/mm] dt$
[mm] (A_2 [/mm] ist A * Vorfaktor von [mm] $P_m$)
[/mm]
> Ich habe nun versucht dem Hinweis zu folgen, allerdings kam mir meine Lösung etwas zu einfach vor und meistens bedeutet dies, dass ich etwas falsch gemacht habe...
=)
$x = [mm] \int [/mm] 1\ dx = [mm] \int \frac [/mm] xx\ dx = [mm] \int [/mm] x\ dx * [mm] \int \frac [/mm] 1x\ dx = [mm] \frac{x^2}2 \ln [/mm] x$
Diese Rechnung hast Du gemacht. Du kannst das Integral von einem Produkt nicht einfach aufspalten.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:17 Mi 04.05.2011 | | Autor: | Docci |
so einfach kann es sein ;)
vielen dank!
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