Ortskurve zeichnen < Regelungstechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 So 22.03.2009 | | Autor: | sashdan |
| Aufgabe | | Geben Die die Ortskurve für ein IT1 System an! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich verstehe einfach nicht wie ich auf den Verlauf der Ortskurve eines IT1-Gliedes komme. Irgendetwas scheint da mit den Winkeln nicht hin zu hauen.
Also ich habe die folgende Übertragungsfunktion gegeben:
G(s) = k/(s*(1+s*T))
und substituiere s = j [mm] \omega [/mm] und erhalte
[mm] G(j\omega) [/mm] = [mm] \bruch{k}{j\omega*(1+j\omega*T)} [/mm] = [mm] \bruch{k/\omega}{(j - \omega*T)}
[/mm]
den Nenner schreibe ich dann in Polarkoordinaten und erhalte:
[mm] G(j\omega) [/mm] = [mm] \bruch{k/\omega}{\wurzel{1^2+(-\omega*T)^2}}*e^{-j\phi}
[/mm]
mit [mm] \phi [/mm] = [mm] arctan(\bruch{1}{-\omega*T})
[/mm]
Wenn ich jetzt
[mm] \omega \rightarrow [/mm] 0 setze erhalte ich für
[mm] Winkel(G(j\omega) [/mm] = [mm] -arctan(\bruch{1}{-\omega*T}) [/mm] = 90°
dies soll aber -90° sein!
Genauso für [mm] \omega \rightarrow \infty [/mm] komme ich auf 0°, obwohl es -180° sein soll!
Wie komme ich auf die richtigen Winkel und wo liegt mein Fehler?
Gruß,
Sascha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 So 22.03.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo sashdan,
zunächst einmal ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]") .
Der Arcustangens ist leider nicht eindeutig, sondern mehrdeutig in Pi, und so muss man nachschauen, wo man sich befindet. Wenn Du Deinen Ausdruck für [mm] G(j \omega) [/mm] aus der ersten Zeile mit dem konjugiert Komplexen des Nenners erweiterst, wird der Nenner reell und im Zähler hast Du einen Ausdruck
$$ k (- [mm] \omega^2 T^2 [/mm] - j [mm] \omega) [/mm] $$
Für kleine Omegawerte sind Real- und Imaginärteil negativ, Du befindest Dich also im dritten Quadranten und so kommen die - 90 Grad zustande. Entsprechendes gilt für den Grenzwert gegen Unendlich.
Beim Arcustnagens muss man immer noch mal checken, wo man sich in der komplexen Ebene genau befindet, geht leider nicht anders.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 So 22.03.2009 | | Autor: | sashdan |
also ich hab ich
[mm]
G(j\omega) = ... * \exp{(-j*\phi)}
mit \phi = arctan(\bruch{1}{-\omega*T})+\pi
und damit
Winkel(G(j\omega)) = - (arctan(\bruch{1}{-\omega*T})+\pi})
Folglich ergibt sich für \omega \rightarrow 0:
Winkel(G(j\omega)) = -(- 90°+\pi) =90°-\pi = -90°
und für \omega \rightarrow \infty:
Winkel(G(j\omega)) = -(- 0°+\pi) =0°-\pi = -180°
[/mm]
Danke für Deine Hilfe,
Gruß,
sashdan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Infinit |
Ja, das ist leider immer etwas tricky und man aufpassen, in welchem Teil der komplexen Ebene man sich befindet.
VG,
Infinit
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