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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Mo 13.11.2006 | | Autor: | Kristof |
| Aufgabe | Für jedes t [mm] \in \IR [/mm] ist eine Funktion [mm] f_t [/mm] gegeben durch [mm] f_t [/mm] (x) = [mm] \bruch{4x^3+tx-t^3}{x}. [/mm] Ihr Graph sei [mm] K_t. [/mm]
a.) Untersuchen Sie [mm] f_t [/mm] auf Extremwerte. Hat [mm] f_t [/mm] ein globales Minimum bzw. Maximum?
b.) Bestimmen Sie den geometrischen Ort der Extrempunkte alles Kurven [mm] K_t. [/mm] |
Huhu,
Habe die Aufgabe gemacht, bekomme allerdings ein Ergebnis raus, welches nicht mit der Vorgegebenen Lösung übereinstimmt. Weiß nicht genau woran das liegt, vielleicht kann mir da ja jemand helfen. ;)
Zu a.)
Zuerst habe ich die 1. Ableitung der Funktion bestimmt und diese = 0 gesetzt. Damit ich vorhandene Extremstellen finden kann.
Die 1. Ableitung lautet :
[mm] f_t' [/mm] (x) = [mm] \bruch{8x^3+t^3}{(x)^2}
[/mm]
Hier Setze ich also den Zähler = 0 und löse nach x auf.
[mm] 8x^3+t^3 [/mm] = 0 | - [mm] t^3
[/mm]
[mm] 8x^3 [/mm] = [mm] -t^3 [/mm] | :8
[mm] x^3 [/mm] = [mm] -\bruch{t^3}{8} [/mm] | [mm] \wurzel[3]{}
[/mm]
x = - [mm] \wurzel[3]{\bruch{t^3}{8}} [/mm]
x = - [mm] \bruch{t}{2}
[/mm]
Also ist die Extremstelle der Funktion [mm] x_E [/mm] = - [mm] \bruch{t}{2}
[/mm]
Ist beim Umformen schon ein Fehler aufgetreten? Das kann ja sein, da mache ich leider häufiger Fehler ... :(
Um nun zu erkennen um was für eine Extremstelle es sich handelt brauche ich die 2. Ableitung, indie ich dann für x die Extremstelle einsetze.
[mm] f_t'' [/mm] (x) = [mm] \bruch{8x^3-2t^3}{(x)^3}
[/mm]
Habe jetzt nicht geguckt, für welche t ein Maximum o. Minimum vorliegt.
Ein Extrempunkt liegt vor bei : ( [mm] -\bruch{t}{2}| 8*(-\bruch{t}{2})-2t^3 [/mm] )
Das ist ja im Grunde a.) gewesen. Nun habe ich mich an b.) rangemacht ;)
Zuerst habe ich x = [mm] -\bruch{t}{2} [/mm] nach t aufgelöst.
x = [mm] -\bruch{t}{2} [/mm] | *2
2x = -t | * (-1)
-2x = t
Nun setze ich t in die Ausgangsfunktion ein, um die Ortslinie zu bekommen:
[mm] \bruch{4x^3+(-2x)*x - (-2x)^3}{x}
[/mm]
= [mm] \bruch{4x^3-2x^2+2x^3}{x}
[/mm]
Demnach müsste die Ortslinie sein :
[mm] 6x^3 [/mm] - [mm] 2x^2
[/mm]
Ist das richtig?
Habe nämlich ein anderes Ergebnis aus dem Untericht aufgenommen, kann auch sein, das ich's falsch verstanden habe, was ich nicht glaube ;)
Naja, wäre super wenn ihr mir helfen könntet.
MfG
Kristof
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 Mo 13.11.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Die Extremstelle ist richtig, aber um den y-Wert zu ermitteln, musst du die [mm] -\bruch{t}{2} [/mm] in f einsetzen. Du hast es in f'' eingesetzt!
Wenn du die [mm] -\bruch{t}{2} [/mm] dann in f'' einsetzt, solltest du auf 24 kommen. Ohne t. Also wird es immer ein Minimum sein. Aber nun muss man schauen, ob es auch global ist, also ob es keine Stelle gibt, bei der der Graf einen kleineren y-Wert Als beim Extrempunkt hat.
Die Ortslinie ist leider auch nicht richtig.
[mm] x=-\bruch{t}{2}, [/mm] richtig.
Aber nun brauchst du noch den y-Wert der Extrempunkte. Diesen berechnest du, wie bereits beschrieben, indem du [mm] -\bruch{t}{2} [/mm] für x ind eine Ausgangsfunktion einsetzt.
Aber die Ausgangsfunktion hat dann nichts weiter mit der Ortskurve zutun!
Du brauchst den x-Wert und der y-Wert der Extrempunkte in Abhängigkeit von t.
[mm] x=-\bruch{t}{2}
[/mm]
y=... musst du noch ausrechnen ;)
Dann kannst du [mm] x=-\bruch{t}{2} [/mm] nach t umstellen und dann die ts in y=... ersetzen. Fertig ist deine Ortskurve! (Vergleich: y=12x²-2x)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Mo 13.11.2006 | | Autor: | Kristof |
> Hallo!
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> Die Extremstelle ist richtig, aber um den y-Wert zu
> ermitteln, musst du die [mm]-\bruch{t}{2}[/mm] in f einsetzen. Du
> hast es in f'' eingesetzt!
>
> Wenn du die [mm]-\bruch{t}{2}[/mm] dann in f'' einsetzt, solltest du
> auf 24 kommen. Ohne t. Also wird es immer ein Minimum sein.
> Aber nun muss man schauen, ob es auch global ist, also ob
> es keine Stelle gibt, bei der der Graf einen kleineren
> y-Wert Als beim Extrempunkt hat.
>
> Die Ortslinie ist leider auch nicht richtig.
>
> [mm]x=-\bruch{t}{2},[/mm] richtig.
> Aber nun brauchst du noch den y-Wert der Extrempunkte.
> Diesen berechnest du, wie bereits beschrieben, indem du
> [mm]-\bruch{t}{2}[/mm] für x ind eine Ausgangsfunktion einsetzt.
> Aber die Ausgangsfunktion hat dann nichts weiter mit der
> Ortskurve zutun!
>
> Du brauchst den x-Wert und der y-Wert der Extrempunkte in
> Abhängigkeit von t.
>
> [mm]x=-\bruch{t}{2}[/mm]
> y=... musst du noch ausrechnen ;)
Gut ich habe es mal probiert, hatte irgendwie Probleme damit.
Komme auch nicht auf das Ergebnis was du hast :(
Habe für y = [mm] \bruch{4*(\bruch{-t}{2})^3+t*(\bruch{-t}{2})-t}{\bruch{-t}{2}}
[/mm]
So, [mm] \bruch{-t}{2} [/mm] müsste ich ja eigentlich kürzen können sodass ich für y = 4* [mm] (\bruch{-t}{2})^2+t-t^3 [/mm] rauskommen müsste.
Ist das richtig?
Wenn ich nun in y für t = -2x einsetze kommt bei mir folgendes raus :
y = 4 [mm] (\bruch{2x}{2})^2-2x+(2x)^3
[/mm]
Was dann wäre
y = [mm] 4x^2 [/mm] + [mm] 8x^3 [/mm] - 2x
Irgendwie ist wohl ein Exponent bei mir falsch kann das sein, muss ich vielleicht beim kürzen oder so vergessen haben, mache ich gerne. Nur kann ich hier nichts finden.
Vielleicht seht ihr ja etwas ?
> Dann kannst du [mm]x=-\bruch{t}{2}[/mm] nach t umstellen und dann
> die ts in y=... ersetzen. Fertig ist deine Ortskurve!
> (Vergleich: y=12x²-2x)
>
Naja, dankeschön.
MfG
Kristof
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Mo 13.11.2006 | | Autor: | Teufel |
In die Gleichung ind er du das [mm] -\bruch{t}{2} [/mm] eingesetzt hast: hinten steht bei dir ein t statt t³! das ist sicher der Fehler.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Mo 13.11.2006 | | Autor: | Kristof |
> In die Gleichung ind er du das [mm]-\bruch{t}{2}[/mm] eingesetzt
> hast: hinten steht bei dir ein t statt t³! das ist sicher
> der Fehler.
Nein,
war nur in der eile hier im Forum ein Tip-fehler ;)
Ähm, ist der y Wert denn soweit richtig?
Kann mir das vielleicht jemand kurz vorrechnen?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Di 14.11.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin kristof,
(s. dein ansatz, bis auf [mm] t^3; [/mm] zusammengefasst)
[mm] f(-\bruch{t}{2} [/mm] )= [mm] \bruch{-\bruch{t^3}{2}-\bruch{t^2}{2}-t^3}{-\bruch{t}{2}}
[/mm]
[mm] f(-\bruch{t}{2} )=(-\bruch{t^3}{2}-\bruch{t^2}{2}-t^3 )*(-\bruch{2}{t} [/mm] )
[mm] f(-\bruch{t}{2} )=+t^2+t+2t^2
[/mm]
gruß
wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Di 14.11.2006 | | Autor: | Kristof |
Jetzt komme ich irgendwie ganz durcheinander :(
Du hast ja die Extremstelle x = [mm] -\bruch{t}{2} [/mm] in die Funktion [mm] f_t(x) [/mm] für x eingesetzt oder?
>
> [mm]f(-\bruch{t}{2})= \bruch{-\bruch{t^3}{2}-\bruch{t^2}{2}-t^3}{-\bruch{t}{2}}[/mm]
Aber da fehlt doch dann etwas, es fehlt doch die 4 oder nicht? Weil die Funktion heißt doch :
[mm] $f_t(x) [/mm] = [mm] \bruch{4x^3+tx-t^3}{x}$
[/mm]
Wenn ich hier nun einsetze erhalte ich :
[mm] $f_t (-\bruch{t}{2}) [/mm] = [mm] \bruch{-\bruch{4t^3}{2}-\bruch{t^2}{2}-t^3}{-\bruch{t}{2}}$
[/mm]
Ist bis hier alles richtig, also ich meine richtig eingesetzt?
Nun habe ich ein Problem dein nächster Schritt ist ja folgender gewesen :
[mm] $f(-\bruch{t}{2} )=(-\bruch{t^3}{2}-\bruch{t^2}{2}-t^3 )*(-\bruch{2}{t})$
[/mm]
Hier verstehe ich nicht wie du auf [mm] (-\bruch{2}{t} [/mm] gekommen bist, und wieso das mit dem anderen multipliziert wird. Außerdem ist der Nenner irgendwie weggekommen.
Nachdem ich also für x das eingesetzt habe habe ich die Funktion :
[mm] $f_t (-\bruch{t}{2}) [/mm] = [mm] \bruch{-\bruch{4t^3}{2}-\bruch{t^2}{2}-t^3}{-\bruch{t}{2}}$
[/mm]
Nun würde ich einfach das [mm] -\bruch{t}{2} [/mm] aus dem Nenner kürzen, weiß aber nicht ob das geht sodass ich erhalte :
[mm] $f_t (-\bruch{t}{2}) [/mm] = [mm] -\bruch{4t^2}{2}-\bruch{t}{2}-t^3$
[/mm]
Weiter weiß ich irgendwie nicht,
habe sicherlich falsch gekürzt oder so.
Brauche also bitte eure Hilfe.
Naja, vielen Dank.
Kristof
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Di 14.11.2006 | | Autor: | hase-hh |
antwort s.u. 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Di 14.11.2006 | | Autor: | Kristof |
Jetzt komme ich irgendwie ganz durcheinander :(
Du hast ja die Extremstelle x = [mm] -\bruch{t}{2} [/mm] in die Funktion [mm] f_t(x) [/mm] für x eingesetzt oder?
>
> [mm]f(-\bruch{t}{2}[/mm] )=
> [mm]\bruch{-\bruch{t^3}{2}-\bruch{t^2}{2}-t^3}{-\bruch{t}{2}}[/mm]
Aber da fehlt doch dann etwas, es fehlt doch die 4 oder nicht? Weil die Funktion heißt doch :
[mm] f_t(x) [/mm] = [mm] \bruch{4x^3+tx-t^3}{x}
[/mm]
Wenn ich hier nun einsetze erhalte ich :
[mm] f_t (-\bruch{t}{2}) [/mm] = [mm] \bruch{-\bruch{4t^3}{2}-\bruch{t^2}{2}-t^3}{-\bruch{t}{2}}
[/mm]
Ist bis hier alles richtig, also ich meine richtig eingesetzt?
Nun habe ich ein Problem dein nächster Schritt ist ja folgender gewesen :
[mm] f(-\bruch{t}{2} )=(-\bruch{t^3}{2}-\bruch{t^2}{2}-t^3 )*(-\bruch{2}{t}
[/mm]
Hier verstehe ich nicht wie du auf [mm] (-\bruch{2}{t} [/mm] gekommen bist, und wieso das mit dem anderen multipliziert wird. Außerdem ist der Nenner irgendwie weggekommen.
Nachdem ich also für x das eingesetzt habe habe ich die Funktion :
[mm] f_t (-\bruch{t}{2}) [/mm] = [mm] \bruch{-\bruch{4t^3}{2}-\bruch{t^2}{2}-t^3}{-\bruch{t}{2}}
[/mm]
Nun würde ich einfach das [mm] -\bruch{t}{2} [/mm] aus dem Nenner kürzen, weiß aber nicht ob das geht sodass ich erhalte :
[mm] f_t (-\bruch{t}{2}) [/mm] = [mm] -\bruch{4t^2}{2}-\bruch{t}{2}-t^3
[/mm]
Weiter weiß ich irgendwie nicht,
habe sicherlich falsch gekürzt oder so.
Brauche also bitte eure Hilfe.
Naja, vielen Dank.
Kristof
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 Di 14.11.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin kristof,
richtig, ich habe den funktionswert ausgerechnet, der zu dem x der Extremstelle gehört.
[mm] f(-\bruch{t}{2} [/mm] )= [mm] \bruch{4*(-\bruch{t}{2} )^3 +t*(-\bruch{t}{2}) -t^3}{-\bruch{t}{2}}
[/mm]
[mm] f(-\bruch{t}{2} [/mm] )= [mm] \bruch{4*(-\bruch{t^3}{2^3} ) -\bruch{t^2}{2} -t^3}{-\bruch{t}{2}}
[/mm]
hier kann ich 4 mit [mm] 2^3 [/mm] kürzen übrig bleibt 1 und 2...
[mm] f(-\bruch{t}{2} [/mm] )= [mm] \bruch{-\bruch{t^3}{2} -\bruch{t^2}{2} -t^3}{-\bruch{t}{2}}
[/mm]
zwei brüche werden durch einander dividiert, indem man den ersten burch mit dem kehrwert des zweiten multipliziert. also:
[mm] f(-\bruch{t}{2} [/mm] )= [mm] (-\bruch{t^3}{2} -\bruch{t^2}{2} -t^3)*(-\bruch{2}{t} [/mm] )
und nun ausmultiplizieren:
(jeder summand mit dem faktor!)
[mm] f(-\bruch{t}{2} [/mm] )= [mm] (-\bruch{t^3}{2})*(-\bruch{2}{t} [/mm] ) + [mm] (-\bruch{t^2}{2})*(-\bruch{2}{t} [/mm] ) + [mm] (-t^3)*(-\bruch{2}{t} [/mm] )
[mm] f(-\bruch{t}{2} [/mm] )= [mm] t^2 [/mm] + t + [mm] 2t^2
[/mm]
[mm] f(-\bruch{t}{2} [/mm] )= [mm] 3t^2 [/mm] + t
bon.
gruß
wolfgang
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