Ortsvektor berechnen < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:28 Do 16.10.2008 | | Autor: | PeterR |
| Aufgabe | D muss so gesucht werden, dass ABCD ein Parallelogram ergeben.
A (2,3,4)
B (-2,1,6)
C (4,3,1) |
Hallo!
Das Endergebnis lautet D (8,5,1).
Nach ein wenig herumprobieren (ich wusste das Endergebnis ja) bin ich auf folgende Formel gekommen:
[mm] \overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}
[/mm]
Da das Herumprobieren nicht wirklich im Sinne des Erfinders ist und mir nichts bringt, wenn ich das Endergebnis nicht im Vornherein weiß, würde ich gern wissen, wie ich auf diese Formel komme. Hoffe, ihr könnt mir helfen.
Gruß, Peter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:41 Do 16.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Um vom Ursprung O zu D zu gelangen brauchst du ja den Ortsvektor [mm] \overrightarrow{OD}
[/mm]
(Oft bezeichnet man die Ortsvektoren zu einem Punkt P auch mit [mm] \vec{p} [/mm] )
Du kennst aber die Punkte A, B und C.
Jetzt musst du versuchen, anhand dieser gegebenen Wegpunkte vom Ursprung aus zum Punkt D zu gelangen.
Dazu gehe erstmal zum Punkt A (mit [mm] \overrightarrow{OA} [/mm] ) Von da aus, gehst du ja parallel zur Seite [mm] \overline{BC}, [/mm] (die du durch den Vektor [mm] \overrightarrow{BC}=\vec{c}-\vec{b} [/mm] berechnen kannst)
Also gehst du zum Punkt D über den Punkt A und dann über den Vektor [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] der Parallelen und gleichlangen Seite)
Somit:
[mm] \vec{d}=\vec{a}+\overrightarrow{BC}=...
[/mm]
Jetzt klarer?
Marius
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> D muss so gesucht werden, dass ABCD ein Parallelogram
> ergeben.
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> A (2,3,4)
> B (-2,1,6)
> C (4,3,1)
Hallo!
Diese Aufgabe ist im allgemeinen nicht eindeutig lösbar. Es gibt drei verschiedene Möglichkeiten, ein Dreieck zu einem Parallelogramm zu ergänzen.
Zeichne Dir erst einmal ein Dreieck auf.
A
B C
[mm] $\vec{\text{AB}} [/mm] + [mm] \vec{\text{OC}} [/mm] = [mm] \vec{\text{OD}}$ [/mm]
ist die erste Lösung. Dann hast Du einen Punkt D "unterhalb vom A".
Jetzt noch einen "rechs von A".
[mm] $\vec{\text{BC}} [/mm] + [mm] \vec{\text{OA}} [/mm] = [mm] \vec{\text{OD}'}$ [/mm]
und dann noch die dritte Lösung ....
Gruß
mathemak
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Do 16.10.2008 | | Autor: | PeterR |
Danke euch beiden!
Ich glaube, dass ich es verstanden habe. Im Prinzip muss ich also lediglich die jeweiligen Formeln wissen und anwenden. Nur noch zwei Fragen dazu:
1. Kann man diese Regeln (also z.b. [mm] \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} [/mm] verallgemeinern und immer anwenden? Oder ist das in irgendeiner Form von den einzelnen Werten der Punkte (ABC) abhängig?
2. mathemak, du sagtest, dass die Aufgabe nicht eindeutig lösbar wäre, da es mehrere (bzw. 3) Lösungen gibt. Wie müsste denn die Aufgabe lauten, dass es nur eine Lösung gibt? Wenn dann z.b. explizit nach D unterhalb von A gefragt werden würde, oder wie kann ich mir das vorstellen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 Do 16.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Danke euch beiden!
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> Ich glaube, dass ich es verstanden habe. Im Prinzip muss
> ich also lediglich die jeweiligen Formeln wissen und
> anwenden. Nur noch zwei Fragen dazu:
>
> 1. Kann man diese Regeln (also z.b.
> [mm]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}[/mm]
> verallgemeinern und immer anwenden? Oder ist das in
> irgendeiner Form von den einzelnen Werten der Punkte (ABC)
> abhängig?
Nein, es gilt IMMER: [mm] \overrrighatrrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}
[/mm]
(Ausserdem: [mm] \overrrighatrrow{BA}=\vec{a}-\vec{b}=-vec{b}+vec{a}=-(vec{b}-vec{a})-\overrightarrow{AB}
[/mm]
>
> 2. mathemak, du sagtest, dass die Aufgabe nicht eindeutig
> lösbar wäre, da es mehrere (bzw. 3) Lösungen gibt. Wie
> müsste denn die Aufgabe lauten, dass es nur eine Lösung
> gibt? Wenn dann z.b. explizit nach D unterhalb von A
> gefragt werden würde, oder wie kann ich mir das vorstellen?
Dann sollte das irgendwie deutlich gemacht werden. Normalerweise ist mit der Aussage ABCD sei ein Viereck (oder was auch immer) gemeint, dass das Viereck die Seiten [mm] \overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CD} [/mm] und [mm] \overline{DA} [/mm] haben soll, und die Punkte gegen den Uhrzeigersinn (also in mathematisch positiver Richtung) "durchbezeichnet" sind.
Marius
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Hallo!
Na ja, das mit dem "Ich merk' mir mal ein Kochrezept" höre ich weniger gern.
[mm] $\vec{\text{AB}} [/mm] = [mm] \vec{\text{OB}} [/mm] - [mm] \vec{\text{OA}}$ [/mm]
ist immer so. "Spitze minus Schaft" des Pfeiles von [mm] $\vec{\text{AB}}$. [/mm]
Das mit dem "unterhalb" war eher für die Skizze gedacht. Im [mm] $\mathbb{R}^3$ [/mm] wird das so nichts.
Korrekt "Ergänzen Sie das Dreieck ABC auf eine Weise zu einem Parallelogramm!"
Oder "Geben Sie zwei verschiedene Möglichkeiten an, wie sich das Dreieck ABC zu einem Parallelogramm ergänzen lässt"
Kommt halt auf den Aufgabensteller an, ober er pingelig ist oder nicht.
mathemak
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:37 Do 16.10.2008 | | Autor: | PeterR |
Okay, nochmals danke an euch. Wenn die Formel immer gleich bleibt, müsste das bei mir hinhaun. ;)
>Na ja, das mit dem "Ich merk' mir mal ein Kochrezept" höre ich weniger >gern.
Anders gehts bei mir net. Logisches Denken gehört definitiv nicht zu meinen Stärken. ;)
Und mir solchen Aufgabenstellungen könnte nun jedenfalls etwas anfangen.... :)
Nochmls danke an euch!
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