P-adische Zahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:58 Di 19.06.2012 | | Autor: | XxX13 |
| Aufgabe 1 | | Man zeige, dass der Körper der p-adischen Zahlen keinen Automorphismus außer dem identischen besitzt (eine analoge Behauptung gilt auch für den Körper der reellen Zahlen). |
| Aufgabe 2 | | Man zeige, dass für verschiedene Primzahlen p und q die Körper R(p) und R(q) nicht isomorph sind. Man zeige weiter, dass keiner der Körper R(p) isomoprh zum Körper der reellen Zahlen ist. |
Kann mir jemand bei der Lösung dieser beiden Aufgabe helfen bzw. einen Beweisvorschlag geben? Es würde mir jedenfalls sehr helfen :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:08 Fr 22.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Man zeige, dass der Körper der p-adischen Zahlen keinen
> Automorphismus außer dem identischen besitzt (eine analoge
> Behauptung gilt auch für den Körper der reellen Zahlen).
Versuche zu zeigen, dass jeder Automorphismus stetig ist.
> Man zeige, dass für verschiedene Primzahlen p und q die
> Körper R(p) und R(q) nicht isomorph sind.
Du musst wieder zeigen, dass der Isomorphismus stetig ist.
Dann kannst du in $R(p)$ die Folge [mm] $p^n$ [/mm] betrachten; diese konvergiert gegen 0.
Der Isomorphismus muss diese Folge auf eine konvergente Folge in $R(q)$ abbilden. Das Bild der Folge ist [mm] $p^n$, [/mm] $n [mm] \in \IN$, [/mm] da jeder Isomorphismus die Identitaet auf [mm] $\IQ$ [/mm] sein muss.
Jetzt konvergiert in $R(q)$ eine Folge [mm] $x^n$, [/mm] $n [mm] \in \IN$ [/mm] jedoch genau dann gegen 0, wenn $q [mm] \mid [/mm] x$ gilt. Daraus folgt $q [mm] \mid [/mm] p$, was nur geht, wenn $p = q$ ist.
> Man zeige
> weiter, dass keiner der Körper R(p) isomoprh zum Körper
> der reellen Zahlen ist.
Betrachte Gleichungen der Form [mm] $x^2 [/mm] + k$ fuer ganze Zahlen $k > 0$. In [mm] $\IR$ [/mm] ist keine solche Loesbar. Fuer jede Primzahl $p$ kannst du jedoch ein $k$ finden, so dass dies loesbar ist (mach es erst modulo $p$ und dann verwende Hensel-Lifting um dies zu beweisen). [Es gibt genau ein $p$, fuer welches du leicht anders argumentieren musst.]
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:53 Di 26.06.2012 | | Autor: | XxX13 |
Hallo Felix :)
Vielen Dank für deine ausführliche Erklärung. Ich verstehe es jetzt einigermaßen und habe auch versucht, die zwei Beispiele zu beweisen. Nur leider komme ich bei der Stetigkeit des Automorphismus bzw. des Isomorphismus nicht weiter :/ Könntest du mir ebentuell hier weiter helfen?
Danke :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:29 Mi 27.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Vielen Dank für deine ausführliche Erklärung. Ich
> verstehe es jetzt einigermaßen und habe auch versucht, die
> zwei Beispiele zu beweisen. Nur leider komme ich bei der
> Stetigkeit des Automorphismus bzw. des Isomorphismus nicht
> weiter :/ Könntest du mir ebentuell hier weiter helfen?
> Danke :)
Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier. Dort wird gezeigt: ein Element $x [mm] \in [/mm] R(p)$ erfuellt genau dann [mm] $|x|_p [/mm] = 1$ (es kommt also kein $p$ in $x$ vor), wenn es zu jedem $m$, welches teilerfremd zu $p (p - 1)$ ist, eine $m$-te Wurzel von $x$ in $R(p)$ gibt.
Das hilft dir vielleicht bei der Stetigkeit weiter.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Fr 20.07.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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