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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 Di 15.03.2005 | | Autor: | triamos |
Hallo,
ich versuche gerade PBZ einigermaßen auf die Reihe zubekommen.
Könnte sich jemand evtl. meine Übungen ansehen, ob es soweit richtig ist bzw. Fehlerkorrektur vornehmen?
Anbei ein .pdf file.
https://www.ping.de/sites/chivas/pbz.pdf
Vielen Dank
Gruß Triamos
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Di 15.03.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber triamos
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
mir scheint, dass dir nicht ganz klar ist, was du überhaupt machen musst!
ich zeigs mal an der 1. Aufgabe:
Offenbar solltst du den Bruch [mm] $\bruch{x+1}{(x-2)^2}$ [/mm] in seine Partialbrüche zerlegen.
Dein Ansatz ist ganz richtig: man macht diesen Ansatz:
[mm] $\bruch{x+1}{(x-2)^2}=\bruch{A}{x-2}+\bruch{B}{(x-2)^2}$
[/mm]
Die Aufgabe besteht jetzt darin, für $A_$ und $B_$ Werte zu finden, dass die Gleichung erfüllt ist, und zwar für alle $x_$. Ich denke, das war dir nicht ganz klar.
Dazu nimmt man einfach alle Brüche auf der rechten Seite auf einen einzigen Bruch (gleichnamig machen)!
Das Ziel erreiche ich auch, indem ich einfach die ganze Gleichung mit dem Generalnenner multipliziere, hier also mit [mm] $(x-2)^2$, [/mm] dann kürzt sich einiges weg:
$x+1=A(x-2)+B_$
ausmultipliziert:
$x+1=Ax-2A+B_$
Wie oben gesagt, muss die Gleichung immer gelten, egal, was ich für $x_$ einsetze! Das heisst also: Koeffizientenvergleich!
Links steht bei $x_$ als Koeffizient eine $1_$ (x ist ja 1 mal x), also muss das rechts auch der Fall sein. Das führt zu der ersten Gleichung:
$A=1_$
Links steht als konstantes Glied 1, rechts steht $-2A+B_$ Das führt zur zweiten Gleichung:
$-2A+B=1_$
Jetzt ist also ein lineares Gleichungssystem entstanden, das recht einfach aufzulösen ist:
$A=1_$
$-2A+B=1_$
Das ergibt $A=1_$ und $B=3_$
Die gesuchte Partialbruchzerlegung ist also:
[mm] $\bruch{x+1}{(x-2)^2}=\bruch{1}{x-2}+\bruch{3}{(x-2)^2}$
[/mm]
Wie du leicht nachrechnest, stimmt obige Gleichung. 
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Di 15.03.2005 | | Autor: | triamos |
Hallo Paul,
soweit habe ich es verstanden. Danke!
Vielleicht habe ich das nicht so deutlich gemacht, aber ich habe eher Probleme mit der Zerlegung an sich.
Bsp.
[mm] \bruch{x^3}{(x-2)(x-1)x(x^2+4)(x^2+1)^2}= \bruch{a}{x}+ \bruch{b}{x-1}+ \bruch{c}{x-2}+ \bruch{dx+e}{x^2+4} +\bruch{fx+g}{x^2+1}+ \bruch{hx+i}{(x^2+1)^2}
[/mm]
Wie komme ich auf dx+e , fx+g und hx+i ??
Gruß
triamos
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 Di 15.03.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo triamos
> Hallo Paul,
>
> soweit habe ich es verstanden. Danke!
>
> Vielleicht habe ich das nicht so deutlich gemacht, aber ich
> habe eher Probleme mit der Zerlegung an sich.
> Bsp.
> [mm]\bruch{x^3}{(x-2)(x-1)x(x^2+4)(x^2+1)^2}= \bruch{a}{x}+ \bruch{b}{x-1}+ \bruch{c}{x-2}+ \bruch{dx+e}{x^2+4} +\bruch{fx+g}{x^2+1}+ \bruch{hx+i}{(x^2+1)^2}
[/mm]
>
>
> Wie komme ich auf dx+e , fx+g und hx+i ??
>
Die Regel ist ganz einfach: dort , wo ein Faktor des Nenners nicht mehr in Linearfaktoren zerfällt, also als Funktion betrachtet, keine reellen Nullstellen hast, musst du in Zähler $Vx+W_$ ansetzen.
[mm] $x^2+4$ [/mm] hat ja keine reellen Nullstellen, deshalb dieser Ansatz.
Hingegen, wenn im Nenner stehen würde: [mm] $x^2-4$, [/mm] dann hätte diese Funktioon die reellen Nullstellen bei $-2_$ und bei $+2_$, kann also zerlegt werden in $(x+2)(x+2)$
Der Ansatz wird also so:
[mm] $\bruch{A}{x+2}+\bruch{B}{x-2}$
[/mm]
Vielleicht etwas allgemeiner, anhand deines obigen Beispieles: der Nenner des Bruches muss in möglichst viele Faktoren zerlegt werden. Dabei kommen nur Faktoren der Form (x+a) und [mm] (x^2+bx+c) [/mm] in Frage!
Dein Nenner war ja so: [mm] $(x-2)(x-1)x(x^2+4)(x^2+1)^2$
[/mm]
Er hätte aber auch zum Beispiel so gegeben sein können:
[mm] $x(x^2-3x+2)(x^2+4)(x^2+1)^2$
[/mm]
Hier hättest du den Faktor [mm] $(x^2-3x+2)$ [/mm] noch weiter in Faktoren zerlegen können: [mm] $(x^2-3x+2) [/mm] = (x-2)(x-1)$
In einer anderen Aufgabe könntest du auch als ein Faktor im Nenner stehen haben:
[mm] $(x^2-4x+8)$
[/mm]
Wenn du das mal als Funktion aufzeichnest, dass stellst du fest, dass das keine reellen Nullstellen hat. Das kannst du also nicht mehr in Linearfaktoren zerlegen, der Ansatz muss hier also sein:
[mm] $\bruch{Ax+B}{x^2-4x+8}$
[/mm]
Habe ich dadurch deine Unsicherheiten beseitigt?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 Di 15.03.2005 | | Autor: | triamos |
Hallo Paul,
jetzt JA!
Das heisst also der Zähler interessiert mich in dem Moment nicht, und es egal ist ob dort eine Summe und/oder ein Produkt steht.
Es kommt wirklich auf den Nenner an, den Grad der einzelnen "teile".
Das war wirklich verständlich.
Besten Dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:59 Mi 16.03.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber triamos
> Hallo Paul,
>
> jetzt JA!
![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
> Das heisst also der Zähler interessiert mich in dem Moment
> nicht, und es egal ist ob dort eine Summe und/oder ein
> Produkt steht.
> Es kommt wirklich auf den Nenner an, den Grad der einzelnen
> "teile".
>
Das stimmt im Prinzip, wenn die Aufgabe anständig gegeben worden ist. Wenn sie aber unanständig ist, das heisst, wenn der Grad des Zählerpolynoms nicht echt kleiner ist als der Grad des Nennerpolynoms, dann darfst du mit der Partialbruchzerlegung noch gar nicht beginnen. Dann musst du mittels Polynomdivision den Bruch zuerst so weit ausrechnen, bis das Zählerpolynom einen echt kleineren Grad hat als das Nennerpolynom.
Wenn zum Beispiel ein Bruch gegeben ist, dessen Zählerpolynom einen Grad hat, der um 2 höher ist als das Nennerpolynom, dann musst du zuerst ausdividieren:
$Bruch [mm] \, [/mm] = [mm] ax^2 [/mm] + bx + c + [mm] \, [/mm] Restbruch$
Die Partialbruchzerlegung wendest du auf den Restbruch an, der die Voraussetzungen jetzt erfüllt. Ein kleines, einfaches Beispiel: du hast zu zerlegen:
[mm] $\bruch{x^5}{x^2+1}$
[/mm]
Zuerst ausdividieren:
[mm] $\bruch{x^5}{x^2+1}=x^3-x+\bruch{x}{x^2+1}$
[/mm]
Die Partialbruchzerlegung wendest du jetz auf den letzten Bruch an (falls sie überhaupt noch nötig ist. Für Belange der Integralrechnung wäre sie in diesem Beispiel nicht mehr nötig, weil man einfach schreiben könnte:
[mm] $\bruch{x}{x^2+1}=\bruch{1}{2}*\bruch{2x}{x^2+1}$
[/mm]
Hat also die Form
[mm] $\bruch{f'(x)}{f(x)}$
[/mm]
wofür eine Stammfunktion ja bekanntlich so aussieht:
[mm] $\ln(|f(x)|)+Const.$
[/mm]
Ein weiterer Grund, warum sie hier nicht mehr nötig wäre, ist: der Bruch hat bereits die geforderte Form [mm] $\bruch{Ax+B}{x^2+1}$ [/mm] 
Das aber nur am Rande bemerkt)
> Das war wirklich verständlich.
Das freut mich!
Mit lieben Grüssen
Paul
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