PDGL Variablen herausfinden < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Mo 07.01.2013 | | Autor: | BamPi |
| Aufgabe | Gegeben ist die lineare, skalare Advektions-Di usionsgleichung in zwei Raumdimensionen:
[mm] u_t(x,y,t)+a*u_x(x,y,t)+b*u_y(x,y,t)-\epsilon \Delta [/mm] u(x,y,t) = s(x,y,t)
[mm] (x,y)\in Q\equiv[x_0,x_1] \times [y_0,y_1]
[/mm]
[mm] \epsilon \ge [/mm] 0
u(x,y,t)=g(x,y,t) [mm] ((x,y)\in \partial [/mm] Q)
[mm] u(x,y,0)=u_0(x,y) [/mm] ((x,y) [mm] \in [/mm] Q)
Die Konstanten a, b und [mm] \epsilon, [/mm] die Grenzen des Rechengebietes, die Rechthandseite s(x, y, t), die
Dirichlet-Randbedingung g(x, y) und die Anfangsbedingung [mm] u_0(x, [/mm] y) sind gegeben.
1. Es soll nun ein Problem betrachtet werden, bei dem die y-Komponente der Losung ver-
nachlassigbar ist. Vereinfachen Sie daher die Adv.-Diffus.gl. auf eine Raumdimension.
Von nun an gelte:
[mm] x_0=0
[/mm]
[mm] x_1=1
[/mm]
a=1
[mm] \epsilon=1
[/mm]
[mm] s(x,t)=cos(4*\pi*t)*(\bruch{2}{2*x+1}+\bruch{4}{(2*x+1)^2})-sin(4*\pi*t)*4*\pi*ln(2*x+1)
[/mm]
g(0,t)=0
[mm] g(1,t)=ln(3)*cos(4*\pi*t)
[/mm]
[mm] u_0(x)=ln(2*x+1)
[/mm]
2. Berechnen Sie die exakte Losung für die erhaltene 1D-Gleichung.
Verwenden Sie den Ansatz
[mm] u(x,t)=ln(c_1*x+c_2*t+c_3)*cos(c_4*x+c_5*t+c_6)+c_7 [/mm] |
Hallo,
Meine 1D-Gleichung aus Aufgabe 1 habe ich bereits bestimmt zu;
[mm] u_t+a*u_x-\epsilon*u_{xx}=s(x,t)
[/mm]
(y fällt raus, [mm] \Delta [/mm] y = [mm] u_{xx})
[/mm]
Nun komme ich bei Aufgabe 2 aber irgendwie nicht auf meine Variablen c1,c2,c3,c4,c5,c6 und c7.
Mein Ansatz ist folgender:
[mm] u_0(0)=0 [/mm] und [mm] u_0(1)=ln(3).
[/mm]
Daraus würde sich [mm] c_7 [/mm] und [mm] c_3 [/mm] ergeben zu: [mm] c_7=-ln(c_3)*cos(c_6)
[/mm]
und [mm] c_3=exp(\bruch{ln(3)-c_7}{cos(c_4+c_6)})-c_1
[/mm]
Hier hätte ich dann allerdings bereits ein rekursives [mm] c_3 [/mm] bzw. [mm] c_7. [/mm] Irgendwie komme ich hier nicht weiter.
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Hallo BamPi,
> Gegeben ist die lineare, skalare
> Advektions-Di usionsgleichung in zwei Raumdimensionen:
> [mm]u_t(x,y,t)+a*u_x(x,y,t)+b*u_y(x,y,t)-\epsilon \Delta[/mm]
> u(x,y,t) = s(x,y,t)
> [mm](x,y)\in Q\equiv[x_0,x_1] \times [y_0,y_1][/mm]
> [mm]\epsilon \ge[/mm]
> 0
> u(x,y,t)=g(x,y,t) [mm]((x,y)\in \partial[/mm] Q)
> [mm]u(x,y,0)=u_0(x,y)[/mm] ((x,y) [mm]\in[/mm] Q)
>
> Die Konstanten a, b und [mm]\epsilon,[/mm] die Grenzen des
> Rechengebietes, die Rechthandseite s(x, y, t), die
> Dirichlet-Randbedingung g(x, y) und die Anfangsbedingung
> [mm]u_0(x,[/mm] y) sind gegeben.
>
> 1. Es soll nun ein Problem betrachtet werden, bei dem die
> y-Komponente der Losung ver-
> nachlassigbar ist. Vereinfachen Sie daher die
> Adv.-Diffus.gl. auf eine Raumdimension.
>
> Von nun an gelte:
> [mm]x_0=0[/mm]
> [mm]x_1=1[/mm]
> a=1
> [mm]\epsilon=1[/mm]
>
> [mm]s(x,t)=cos(4*\pi*t)*(\bruch{2}{2*x+1}+\bruch{4}{(2*x+1)^2})-sin(4*\pi*t)*4*\pi*ln(2*x+1)[/mm]
> g(0,t)=0
> [mm]g(1,t)=ln(3)*cos(4*\pi*t)[/mm]
> [mm]u_0(x)=ln(2*x+1)[/mm]
>
> 2. Berechnen Sie die exakte Losung für die erhaltene
> 1D-Gleichung.
> Verwenden Sie den Ansatz
> [mm]u(x,t)=ln(c_1*x+c_2*t+c_3)*cos(c_4*x+c_5*t+c_6)+c_7[/mm]
>
>
>
> Hallo,
>
> Meine 1D-Gleichung aus Aufgabe 1 habe ich bereits bestimmt
> zu;
>
> [mm]u_t+a*u_x-\epsilon*u_{xx}=s(x,t)[/mm]
> (y fällt raus, [mm]\Delta[/mm] y = [mm]u_{xx})[/mm]
>
> Nun komme ich bei Aufgabe 2 aber irgendwie nicht auf meine
> Variablen c1,c2,c3,c4,c5,c6 und c7.
>
> Mein Ansatz ist folgender:
>
> [mm]u_0(0)=0[/mm] und [mm]u_0(1)=ln(3).[/mm]
> Daraus würde sich [mm]c_7[/mm] und [mm]c_3[/mm] ergeben zu:
> [mm]c_7=-ln(c_3)*cos(c_6)[/mm]
> und [mm]c_3=exp(\bruch{ln(3)-c_7}{cos(c_4+c_6)})-c_1[/mm]
>
> Hier hätte ich dann allerdings bereits ein rekursives [mm]c_3[/mm]
> bzw. [mm]c_7.[/mm] Irgendwie komme ich hier nicht weiter.
>
Nun, die Lösungsfunktion u(x,t) muss
auch die 1D-Gleichung mit [mm]a=\epsilon=1[/mm] erfüllen.
Hieraus bekommst Du schon eine Menge Informationen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Mo 07.01.2013 | | Autor: | BamPi |
> Nun, die Lösungsfunktion u(x,t) muss
> auch die 1D-Gleichung mit [mm]a=\epsilon=1[/mm] erfüllen.
> Hieraus bekommst Du schon eine Menge Informationen.
>
>
> Gruss
> MathePower
Hallo,
[mm] a=\epsilon=1 [/mm] habe ich ja bereits in der 1D-Gleichung berücksichtigt.
Wenn ich nun meinen Ansatz [mm] u(x,t)=ln(c_1\cdot{}x+c_2\cdot{}t+c_3)\cdot{}cos(c_4\cdot{}x+c_5\cdot{}t+c_6)+c_7 [/mm]
jeweils einmal nach t, nach x und zweimal nach x [mm] (u_t, u_x, u_{xx}) [/mm] ableite, und in meine 1D Formel [mm] u_t+u_x-u_{xx}=s [/mm] einsetze, bekomme ich einen sehr langen Ausdruck, aus welchem sich mir keine einzige Variable erschließen lässt.
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Hallo BamPi,
> > Nun, die Lösungsfunktion u(x,t) muss
> > auch die 1D-Gleichung mit [mm]a=\epsilon=1[/mm] erfüllen.
> > Hieraus bekommst Du schon eine Menge Informationen.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Hallo,
>
> [mm]a=\epsilon=1[/mm] habe ich ja bereits in der 1D-Gleichung
> berücksichtigt.
> Wenn ich nun meinen Ansatz
> [mm]u(x,t)=ln(c_1\cdot{}x+c_2\cdot{}t+c_3)\cdot{}cos(c_4\cdot{}x+c_5\cdot{}t+c_6)+c_7[/mm]
> jeweils einmal nach t, nach x und zweimal nach x [mm](u_t, u_x, u_{xx})[/mm]
> ableite, und in meine 1D Formel [mm]u_t+u_x-u_{xx}=s[/mm] einsetze,
> bekomme ich einen sehr langen Ausdruck, aus welchem sich
> mir keine einzige Variable erschließen lässt.
Führe einen Koeffizientenvergleich durch.
Gruss
MathePower
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