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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:33 Mi 13.04.2011 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Sei [mm]P(x) = \summe_{i=0}^{n}a_i x^i [/mm] ein Polynom vom Grad n mit Koeffizienten in [mm]\IQ[/mm] und für alle [mm]i \in \{ 0,1,2,...,n \}[/mm] gelte [mm] a_i =a_{n-i}[/mm].
(a) Sei [mm] \alpha[/mm] eine Nullstelle von P. Zeigen Sie, dass [mm] \alpha \not= 0[/mm] ist und dass [mm] \bruch{1}{\alpha}[/mm] ebenfalls eine Nullstelle von P ist.
(b) Angenommen der Grad n von P ist gerade. Zeigen Sie, dassn [mm]\alpha + \bruch{1}{\alpha}[/mm] Nullstelle eines Polynoms vom Grad [mm]\bruch{n}{2}[/mm] mit Koeffizienten in [mm]\IQ[/mm] ist. |
hier komme ich leider nicht weiter, meine Rechnung hier konret aufzuschreiben wäre mühsam....ich beschreib mal, was ich vor hatte:
ich hab das Polynom "ausgeschrieben" und dann [mm] a_{n-i}[/mm] durch [mm] a_{i}[/mm] ersetzt, dann nach Koeffizienten sortiert und ausgeklammert.
(das ganze 2 mal, also für n gerade/ungerade)
ich dachte ich würde dann irgendwas "sehen", was mich weiter bringt, war aber nicht der Fall.
Jetzt hab ich keine Ahnung, wie ich die Aufgabe angehen soll...
Kann mir bitte jemand einen Tipp geben! Danke
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Hallo ella,
nette Aufgabe. 
> Sei [mm]P(x) = \summe_{i=0}^{n}a_i x^i[/mm] ein Polynom vom Grad n
> mit Koeffizienten in [mm]\IQ[/mm] und für alle [mm]i \in \{ 0,1,2,...,n \}[/mm]
> gelte [mm]a_i =a_{n-i}[/mm].
"vom Grad n" heißt doch: [mm] a_n\not=0.
[/mm]
> (a) Sei [mm]\alpha[/mm] eine Nullstelle von P. Zeigen Sie, dass
> [mm]\alpha \not= 0[/mm] ist und dass [mm]\bruch{1}{\alpha}[/mm] ebenfalls
> eine Nullstelle von P ist.
>
> (b) Angenommen der Grad n von P ist gerade. Zeigen Sie,
> dassn [mm]\alpha + \bruch{1}{\alpha}[/mm] Nullstelle eines Polynoms
> vom Grad [mm]\bruch{n}{2}[/mm] mit Koeffizienten in [mm]\IQ[/mm] ist.
> hier komme ich leider nicht weiter, meine Rechnung hier
> konret aufzuschreiben wäre mühsam....ich beschreib mal,
> was ich vor hatte:
>
> ich hab das Polynom "ausgeschrieben" und dann [mm]a_{n-i}[/mm] durch
> [mm]a_{i}[/mm] ersetzt, dann nach Koeffizienten sortiert und
> ausgeklammert.
>
> (das ganze 2 mal, also für n gerade/ungerade)
Viel Arbeit, aber man kanns ja erstmal versuchen.
> ich dachte ich würde dann irgendwas "sehen", was mich
> weiter bringt, war aber nicht der Fall.
Ok, glaube ich.
> Jetzt hab ich keine Ahnung, wie ich die Aufgabe angehen
> soll...
>
> Kann mir bitte jemand einen Tipp geben! Danke
Zu a: Wenn [mm] \alpha=0 [/mm] eine Nullstelle wäre, müsste also [mm] a_0=0 [/mm] sein. Dann wäre auch [mm] a_n=0. [/mm] Widerspruch.
Weiter: wenn [mm] x=\alpha [/mm] eine Nullstelle ist, dann wäre der Funktionswert bei [mm] x=\bruch{1}{\alpha} [/mm] doch folgender:
[mm] P\left(\bruch{1}{\alpha}\right)=P(\alpha^{-1})=\summe_{i=0}^{n}a_i*\alpha^{-i}
[/mm]
Multipliziere das mal mit [mm] \alpha^n [/mm] (einem Wert, der nicht Null ist!) und beachte [mm] a_i=a_{n-i}. [/mm] Fertig.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Do 14.04.2011 | | Autor: | ella87 |
Danke für den schnellen Tipp. So ginge natürlich schnell und einfach.
Allerdings hänge ich bei der b schon wieder.
Ich bekomm das nicht vereinfacht, weil man in der Summe eine Summe mit Steigender Potenz hat.
Ich hab schonwieder seitenweise gerechnet ohne Lösung :-(
Da gibt's doch bestimmt wieder nen Trick, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 Do 14.04.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Allerdings hänge ich bei der b schon wieder.
> Ich bekomm das nicht vereinfacht, weil man in der Summe
> eine Summe mit Steigender Potenz hat.
> Ich hab schonwieder seitenweise gerechnet ohne Lösung :-(
> Da gibt's doch bestimmt wieder nen Trick, oder?
Also. Ist $p = [mm] \sum_{i=0}^{n/2} b_i x^i \in \IQ[x]$, [/mm] so ist $ 0
[mm] \overset{!}{=} p(\alpha [/mm] + [mm] 1/\alpha) [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^{n/2} b_n \sum_{j=0}^i \binom{i}{j} \alpha^j \alpha^{-(i - j)}$ [/mm] (binomischer Lehrsatz). Multiplizier diese Gleichung mit [mm] $\alpha^{n/2}$. [/mm] Und dann mach Koeffizientenvergleich mit $0 = [mm] \sum_{i=0}^n a_i \alpha^i$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:12 So 17.04.2011 | | Autor: | ella87 |
hi!
> Also. Ist $p = [mm]\sum_{i=0}^{n/2} b_i x^i \in \IQ[x]$,[/mm] so ist
> $ 0
was ist $p ? Nur eine Bezeichnung??
> [mm]\overset{!}{=} p(\alpha[/mm] + [mm]1/\alpha)[/mm] = [mm]\sum_{i=0}^{n/2} b_n \sum_{j=0}^i \binom{i}{j} \alpha^j \alpha^{-(i - j)}$[/mm]
> (binomischer Lehrsatz).
okay, bis hierhin klar, aber muss es nicht [mm] b_i [/mm] heißen? Und warum eigentlich b und nicht a??
Multiplizier diese Gleichung mit
> [mm]$\alpha^{n/2}$.[/mm] Und dann mach Koeffizientenvergleich mit $0
> = [mm]\sum_{i=0}^n a_i \alpha^i$.[/mm]
>
hier hats dann aufgehört! zu viele n uns i und j!
kannst du nochmal helfen bitte.
> LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:49 Di 19.04.2011 | | Autor: | wieschoo |
Das liegt am Editor hier im Matheraum![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]")
[mm]p =\sum_{i=0}^{n/2} b_i x^i \in \IQ[x] [/mm]
so war das von felixf bestimmt gemeint.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:22 Mi 20.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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