Parallelität von Ebenen < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:37 Do 24.02.2011 | | Autor: | Palme |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Ebenen E und F zueinander parallel sind
E:4x1+3x2-12x3=25
F:-4x1-3x2+12x3=14 |
Hallo ,
muss ich hier das Skalarprodukt der Normalenvektoren bestimmen ?
Falls ja kann mir vielleicht jemand erklären wie der Zusammenhang ist ?
gruß Palme
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Hallo,
zwei Ebenen sind parallel, wenn ihre Normalenvektoren Vielfache voneinander sind.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:35 Do 24.02.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie, dass die Ebenen E und F zueinander parallel
> sind
>
> E:4x1+3x2-12x3=25
> F:-4x1-3x2+12x3=14
> Hallo ,
>
> muss ich hier das Skalarprodukt der Normalenvektoren
> bestimmen ?
nein.
> Falls ja kann mir vielleicht jemand erklären wie der
> Zusammenhang ist ?
Siehe Angelas Hinweis. Beachte allerdings, dass Du die Normalenvektoren direkt aus den Ebenengleichungen ablesen kannst.
Du kannst nämlich
[mm] $$E:\;\;\blue{4}x_1+\blue{3}x_2+\blue{(-12)}x_3=25$$
[/mm]
schreiben als
[mm] $$E:\;\;\vektor{x_1\\x_2\\x_3}\bullet \blue{\vektor{4\\3\\-12}} [/mm] - [mm] \vektor{p_1\\p_2\\p_3} \bullet \blue{\vektor{4\\3\\-12}}=0$$
[/mm]
mit einem Punkt [mm] $(p_1,p_2,p_3)$ [/mm] der Ebene (z.B. kannst Du [mm] $p_1=p_2=0$ [/mm] setzen und erhältst dann aus der Ebenengleichung
[mm] $$4*0+3*0-12*p_3=25$$
[/mm]
sofort
[mm] $$p_3=-25/12\,,$$
[/mm]
also
[mm] $$\vektor{p_1\\p_2\\p_3}=\vektor{0\\0\\-25/12}$$
[/mm]
wählen).
Aber einen Vektor [mm] $\vektor{p_1\\p_2\\p_3}$ [/mm] braucht man dabei gar nicht konkret anzugeben (man kann es aber machen, wenn man will).
Warum man das so machen kann:
Vgl. etwa ![[]](/images/popup.gif) Normalgleichung einer Ebene und beachte, dass gerade das Skalarprodukt
[mm] $$\vektor{x_1\\x_2\\x_3} \bullet \blue{\vektor{n_1\\n_2\\n_3}}$$
[/mm]
nichts anderes ist als
[mm] $$\blue{n_1}x_1+\blue{n_2}x_2+\blue{n_3}x_3\,.$$
[/mm]
Es gilt also
[mm] $$\vektor{x_1\\x_2\\x_3} \bullet \blue{\vektor{n_1\\n_2\\n_3}}=\blue{n_1}x_1+\blue{n_2}x_2+\blue{n_3}x_3\\,.$$
[/mm]
Daher weißt Du:
Der Vektor
[mm] $$\blue{\vektor{4\\3\\-12}}$$
[/mm]
steht senkrecht auf [mm] $E\,,$ [/mm] und der Vektor
[mm] $$\blue{\vektor{-4\\-3\\+12}}$$
[/mm]
steht senkrecht auf [mm] $F\,.$
[/mm]
Die beiden Ebenen sind folglich in der Tat parallel (wobei auch Gleichheit erlaubt ist). (Rechnerische Begründung?)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:22 Fr 25.02.2011 | | Autor: | franky55 |
Du hast also:
E: [mm] 4x_1+3x_2-12x_3=25
[/mm]
Ein Normalvektor der Ebene E ist [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -12 \end{pmatrix}
[/mm]
Die Gleichung der Ebene F lautet:
F: [mm] -4x_1-3x_2+12x_3=14
[/mm]
Wenn du diese Gleichung mit (-1) multiplizierst, dann erhältst du:
F: [mm] 4x_1+3x_2-12x_3=-14 [/mm]
Ein Normalvektor der Ebene F ist ebenfalls [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -12 \end{pmatrix}
[/mm]
Beide Normalvektoren sind identisch, d.h. sie liegen parallel zueinander.
Daher müssen auch die beiden Ebenen E und F parallel zueinander liegen.
E und F sind nicht identisch, da auf den rechten Seiten der Gleichungen unterschiedliche Zahlenwerte stehen (25[mm] \ne [/mm]-14).
Schöne Grüße
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