Parallelität von ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Fr 14.10.2005 | | Autor: | Anna17 |
hallo!,
ich komme nicht damit zurecht ebenen auf parallelität zu überprüfen.
Ich weiß zwar, dass die ebenen nur parallel sind wenn die vektoren vielfache voneinander sind, aber ich bin mir bei 3 aufgaben nicht sicher, ob sie nun linear abhänig oder linear unabhänig sind.
a) E1: x= [mm] \vektor{4 \\ 1 \\ 2}+ \pi *\vektor{4 \\ -2 \\ -9}+ \lambda [/mm] *
[mm] \vektor{-2 \\ 0 \\ 3}
[/mm]
E2: x= [mm] \vektor{0 \\ 4 \\ 2}+ \pi *\vektor{-2 \\ -2 \\ 0}+ \lambda [/mm] *
[mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
b) E1: x= [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 3}+ \pi *\vektor{4 \\ 2 \\ -1}+ \lambda [/mm] *
[mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
E2: x= [mm] \vektor{2 \\ -3 \\ 3}+ \pi *\vektor{4 \\ -4 \\ -1}+ \lambda [/mm] *
[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
c)E1: x= [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 1}+ \pi *\vektor{4 \\ -4 \\ 1}+ \lambda [/mm] *
[mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
E2: x= [mm] \vektor{2 \\ -3 \\ 2}+ \pi *\vektor{-4 \\ 4 \\ -1}+ \lambda [/mm] *
[mm] \vektor{3 \\ -1 \\ 0}
[/mm]
zu a) vektoren sind voneinander linear unabhänig, da keiner der vektoren ein vielfach der übrigen vektoren ist...also sind die ebenen nicht parallel zueinander, sondern?????
zu b) wie a)???
zu c) voneinander linear abhänig, da einer der vektoren eine linearkombination eines anderen ist????
bitte helft mir...danke
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Hallo!
> hallo!,
> ich komme nicht damit zurecht ebenen auf parallelität zu
> überprüfen.
> Ich weiß zwar, dass die ebenen nur parallel sind wenn die
> vektoren vielfache voneinander sind, aber ich bin mir bei 3
> aufgaben nicht sicher, ob sie nun linear abhänig oder
> linear unabhänig sind.
>
> a) E1: x= [mm]\vektor{4 \\ 1 \\ 2}+ \pi *\vektor{4 \\ -2 \\ -9}+ \lambda[/mm]
> *
> [mm]\vektor{-2 \\ 0 \\ 3}[/mm]
>
> E2: x= [mm]\vektor{0 \\ 4 \\ 2}+ \pi *\vektor{-2 \\ -2 \\ 0}+ \lambda[/mm]
> *
> [mm]\vektor{0 \\ 2 \\ 3}[/mm]
>
> b) E1: x= [mm]\vektor{2 \\ -1 \\ 3}+ \pi *\vektor{4 \\ 2 \\ -1}+ \lambda[/mm]
> *
> [mm]\vektor{3 \\ 0 \\ 1}[/mm]
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> E2: x= [mm]\vektor{2 \\ -3 \\ 3}+ \pi *\vektor{4 \\ -4 \\ -1}+ \lambda[/mm]
> *
> [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ -1}[/mm]
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> c)E1: x= [mm]\vektor{-2 \\ 1 \\ 1}+ \pi *\vektor{4 \\ -4 \\ 1}+ \lambda[/mm]
> *
> [mm]\vektor{-2 \\ 1 \\ 0}[/mm]
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> E2: x= [mm]\vektor{2 \\ -3 \\ 2}+ \pi *\vektor{-4 \\ 4 \\ -1}+ \lambda[/mm]
> *
> [mm]\vektor{3 \\ -1 \\ 0}[/mm]
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> zu a) vektoren sind voneinander linear unabhänig, da keiner
> der vektoren ein vielfach der übrigen vektoren ist...also
> sind die ebenen nicht parallel zueinander, sondern?????
Nein, das stimmt nicht ganz. Du hast insgesamt vier Spannvektoren, die du überprüfen musst. Allerdings sind vier Vektoren im [mm] \IR^3 [/mm] immer linear abhängig. Das macht also keinen Sinn. Das heißt, du musst alle Möglichkeiten von drei dieser Vektoren auf lineare Abhängigkeit überprüfen. Dafür reicht es aber nicht, zu gucken, ob einer ein Vielfaches der anderen ist, es könnte einer ja auch eine Linearkombination der anderen Vektoren sein (oder meintest du das?). In der Regel stellt man dafür ein lineares Gleichungssystem auf.
Naja, wenn die Ebenen nicht parallel sind, was können sie denn sonst noch sein? Identisch ja wohl kaum, denn das ist ja nur eine besondere Form der Parallelität. Windschiefe Ebenen gibt es im [mm] \IR^3 [/mm] nicht (so wie es ja auch keine windschiefen Geraden im [mm] \IR^2 [/mm] gibt). Also können sich die beiden Ebenen nur schneiden.
Ich würde bei solchen Aufgaben die beiden Ebenengleichungen einfach gleichsetzen:
[mm] \vektor{4 \\ 1 \\ 2}+ \pi_1 *\vektor{4 \\ -2 \\ -9}+ \lambda_1 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 4 \\ 2}+ \pi_2 *\vektor{-2 \\ -2 \\ 0}+ \lambda_2
[/mm]
Und nun dieses Gleichungssystem lösen. Du hast dabei vier Unbekannte und nur drei Gleichungen, das heißt, du bekommst entweder keine Lösung raus, dann sind die Ebenen parallel, oder du bekannst unendlich viele Lösungen raus, dann schneiden sich die Ebenen und du hast auch gleich die Schnittgerade.
Eine viel einfachere Möglichkeit, die mir gerade noch ein fällt, ist: berechne für jede Ebenen einen Normalenvektor und überprüfe diese beiden auf lineare Abhängigkeit. Das ist einfacher, denn die Normalenvektoren kannst du mit dem Vektorprodukt aus den Spannvektoren berechnen, und bei zwei Vektoren siehst du direk, ob sie linear abhängig sind oder nicht. (Ich weiß allerdings nicht, ob ihr so etwas schon gemacht habt!?)
> zu b) wie a)???
>
> zu c) voneinander linear abhänig, da einer der vektoren
> eine linearkombination eines anderen ist????
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Nämlich welcher und welche Linearkombination? Das würde ich angeben, danach dürfte diese Aufgabe gelöst sein. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hi, Anna,
> a) E1: x= [mm]\vektor{4 \\ 1 \\ 2}+ \pi *\vektor{4 \\ -2 \\ -9}+ \lambda[/mm]
> *
> [mm]\vektor{-2 \\ 0 \\ 3}[/mm]
>
> E2: x= [mm]\vektor{0 \\ 4 \\ 2}+ \pi *\vektor{-2 \\ -2 \\ 0}+ \lambda[/mm]
> *
> [mm]\vektor{0 \\ 2 \\ 3}[/mm]
>
Alternativ zu Bastianes Vorschlägen (Gleichungssystem lösen oder mit Normalenvektoren arbeiten) hier eine 3. Lösungsmethode:
DETERMINANTEN.
2 Ebenen sind parallel, wenn die beiden aus jeweils 3 der 4 Richtungsvektoren gebildeten Determinanten =0 sind; ist auch nur eine davon nicht =0, so schneiden sie sich in einer Geraden.
In Deinem Beispiel geht das so:
(1) [mm] \vmat{ 4 & -2 & -2 \\ -2 & 0 & -2 \\ -9 & 3 & 0 } [/mm] = -36 + 12 + 24 = 0.
(2) [mm] \vmat{ 4 & -2 & 0 \\ -2 & 0 & 2 \\ -9 & 3 & 3 } [/mm] = 36 - 24 - 12 = 0.
Ergo: Die Ebenen sind parallel!
Wenn Du nun noch nachweisen sollst, ob sie ECHT parallel oder gar identisch sind, bildest Du eine 3. Determinante, in die Du anstelle des 3. Richtungsvektors noch den Verbindungsvektor der beiden Aufpunkte einsetzt:
(3) [mm] \vmat{ 4 & -2 & 4 \\ -2 & 0 & -3 \\ -9 & 3 & 0 } [/mm] = -54 - 24 + 36 [mm] \not= [/mm] 0
Daher: Echt parallel.
mfG!
Zwerglein
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