Parallelität zweier Geraden < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:30 Di 07.12.2010 | | Autor: | Schalk |
| Aufgabe | | Zwei Geraden [mm]H_c_,_\alpha = = \alpha[/mm] und [mm]H_d_,_\beta = = \beta[/mm] (<d,x> ist das SKalarprodukt) sind genau dann parallel, wenn c und d linear abhängig sind. |
Ich habe ein wenig das Problem, die Lösung darzustellen. Deute ich das richtig, dass die NOrmalenvektoren linear abhängig sein müssen? Und wenn diese parallel sind, müssen sie ja auch linear abhängig sein, oder?
Falls dies richtig ist, wie kann ich das in einen "Beweis" packen?
Danke und schöne Grüße
|
|
| |
|
> Zwei Geraden [mm]H_c_,_\alpha = = \alpha[/mm] und [mm]H_d_,_\beta = = \beta[/mm]
> (<d,x> ist das SKalarprodukt) sind genau dann parallel,
> wenn c und d linear abhängig sind.
Hallo,
hier ist die Schreibweise der Geraden schon wieder grauenhaft.
Das schreibt Ihr doch nicht wirklich so, oder?
Du gewinnst durch solche Luschiwuschiabkürzungen nichts - eher besteht die Gefahr, daß Du Dich irgendwann selbst verwirrst.
Bei der Widergabe von Aufgabenstellungen sollte kein Platz für kreatives Chaos sein.
Ich reime mir zusammen, daß die Aufgabe im [mm] \IR^2 [/mm] spielt.
>
> Ich habe ein wenig das Problem, die Lösung darzustellen.
Du hast also schon eine Lösungsidee?
> Deute ich das richtig, dass die NOrmalenvektoren linear
> abhängig sein müssen?
Zu zeigen ist hier zweierlei
1. Geraden parallel ==> Normalenvektoren linear abhängig
2. Normalenvektoren linear abhängig ==> Geraden parallel.
> Und wenn diese parallel sind,
> müssen sie ja auch linear abhängig sein, oder?
Was meinst Du mit "diese"? Die Normalenvektoren?
Ja, wenn sie parallel sind, sind sie linear abhängig. Klar.
Und wenn sie linear abhängig sind, sind sie dann auch parallel?
Das ist hier aber nicht das Hauptthema, was nicht heißt, daß diese Überlegungen nicht nützlich sind.
Du solltest Dir vielleicht mal überlegen, was parallele Geraden sind.
Ihr werdet da ja was definiert haben oder Kriterien aufgeschrieben.
Gruß v. Angela
</d,x>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:36 Do 09.12.2010 | | Autor: | Schalk |
>
> > Zwei Geraden [mm]H_c_,_\alpha = = \alpha[/mm] und [mm]H_d_,_\beta = = \beta[/mm]
> > (<D,X> ist das SKalarprodukt) sind genau dann parallel,
> > wenn c und d linear abhängig sind.
>
> Hallo,
>
> hier ist die Schreibweise der Geraden schon wieder
> grauenhaft.
> Das schreibt Ihr doch nicht wirklich so, oder?
Es geht um die beiden Geraden: [mm]H_c_,_\alpha := {x;x\in\IR^2, = \alpha}[/mm][mm]H_c_,_\alpha := \left \{ x;x\in\IR^2, = \alpha\right \}[/mm] und entsprechend [mm]H_d_,_\beta := \left \{ x;x\in\IR^2, = \beta\right \}[/mm]
>
> Du gewinnst durch solche Luschiwuschiabkürzungen nichts -
> eher besteht die Gefahr, daß Du Dich irgendwann selbst
> verwirrst.
> Bei der Widergabe von Aufgabenstellungen sollte kein Platz
> für kreatives Chaos sein.
>
>
> Ich reime mir zusammen, daß die Aufgabe im [mm]\IR^2[/mm] spielt.
Entschhuldige, dass ich das nicht dazu geschrieben habe!
>
> >
> > Ich habe ein wenig das Problem, die Lösung darzustellen.
>
> Du hast also schon eine Lösungsidee?
>
> > Deute ich das richtig, dass die NOrmalenvektoren linear
> > abhängig sein müssen?
>
> Zu zeigen ist hier zweierlei
>
> 1. Geraden parallel ==> Normalenvektoren linear abhängig
> 2. Normalenvektoren linear abhängig ==> Geraden
> parallel.
>
>
> > Und wenn diese parallel sind,
> > müssen sie ja auch linear abhängig sein, oder?
>
> Was meinst Du mit "diese"? Die Normalenvektoren?
> Ja, wenn sie parallel sind, sind sie linear abhängig.
> Klar.
> Und wenn sie linear abhängig sind, sind sie dann auch
> parallel?
> Das ist hier aber nicht das Hauptthema, was nicht heißt,
> daß diese Überlegungen nicht nützlich sind.
>
> Du solltest Dir vielleicht mal überlegen, was parallele
> Geraden sind.
> Ihr werdet da ja was definiert haben oder Kriterien
> aufgeschrieben.
Folgendes wurde für parallele Geraden festgehalten: Man nennt zwei Geraden [mm]u+\IR*a[/mm] und [mm]v+\IR*b[/mm] parallel, wenn a und b linear abhängig sind, wenn also b skalares Vielfaches von a ist.
>
> Gruß v. Angela
>
>
> </D,X>
Leider finde ich aber immer noch nicht den Ansatz... Wenn ich das richtig verstanden habe, muss ich aus der Parallelität zweier Geraden folgern, dass die Normalenvektoren linear unabhängig sind und umgkehrt. Ist das richtig? Ich finde aber den Ansatz noch nicht, hat vielleicht jemand noch einen Tipp?
Danke und schöne Grüße
|
|
|
| |
|
>
>
> >
> > > Zwei Geraden [mm]H_c_,_\alpha = = \alpha[/mm] und [mm]H_d_,_\beta = = \beta[/mm]
> > > (<d,x> ist das SKalarprodukt) sind genau dann parallel,
> > > wenn c und d linear abhängig sind.
> >
> > Hallo,
> >
> > hier ist die Schreibweise der Geraden schon wieder
> > grauenhaft.
> > Das schreibt Ihr doch nicht wirklich so, oder?
>
> Es geht um die beiden Geraden: [mm]H_c_,_\alpha := \left \{ x;x\in\IR^2, = \alpha\right \}[/mm]
> und entsprechend [mm]H_d_,_\beta := \left \{ x;x\in\IR^2, = \beta\right \}[/mm]
> > Zu zeigen ist hier zweierlei
> >
> > 1. Geraden parallel ==> Normalenvektoren linear abhängig
> > 2. Normalenvektoren linear abhängig ==> Geraden
> > parallel.
> >
> >
> > Du solltest Dir vielleicht mal überlegen, was parallele
> > Geraden sind.
> > Ihr werdet da ja was definiert haben oder Kriterien
> > aufgeschrieben.
>
> Folgendes wurde für parallele Geraden festgehalten: Man
> nennt zwei Geraden [mm]u+\IR*a[/mm] und [mm]v+\IR*b[/mm] parallel, wenn a und
> b linear abhängig sind, wenn also b skalares Vielfaches
> von a ist.
>
>
</d,x>
> Leider finde ich aber immer noch nicht den Ansatz... Wenn
> ich das richtig verstanden habe, muss ich aus der
> Parallelität zweier Geraden folgern, dass die
> Normalenvektoren linear unabhängig sind und umgkehrt.
Abhängig. Nicht "unabhängig".
Ich frage mich manchmal, welche Wunder erwartet werden, wenn hier im Forum nach einem "Ansatz" gefragt wird. Fast verstehe ich nicht, was mit "Ansatz" gemeint ist. Das ist doch eine Übungsaufgabe und keine Bowle...
Fang einfach mal an. Die Schreibweisen sind vielleicht ungewohnt, aber ansonsten sind dies doch Aufgaben, die man in der Schule bereits löst.
Also:
zu zeigen: [mm] H_c_,_\alpha [/mm] und [mm] H_d_,_\beta [/mm] parallel ==> die Normalenvektoren c und d sind linear abhängig.
Beweis: Seinen [mm] H_c_,_\alpha [/mm] und [mm] H_d_,_\beta [/mm] parallel .
Dann sind ihre Richtungsvektoren parallel.
Nun mußt Du etwas über ihre Normalenvektoren herausfinden.
Das geht sicher auf verschiedene Weise. Man könnte sich z.B. überlegen, daß der Rihtungsvektor der ersten Geraden und ihr Normalenvektor eine basis des [mm] \IR^2 [/mm] sind und damit weiterarbeiten.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
