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Parallelogramm Mittelpunkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:35 Mi 12.09.2012
Autor: pc_doctor

Aufgabe
Gegeben ist ein Raumviereck durch die Eckpunkte A(4|0|0) , B(4|3|1), C(0|3|4), D(4|0|3). Zeichnen Sie ein Schrägbild des Vierecks. Zeigen Sie , dass die Seitenmittelpunkte des Vierecks ABCD ein Parallelogramm bilden.

Hallo , also die Zeichnung und die anderen Sachen sind hier :

http://s14.directupload.net/images/120912/gleee63q.jpg

Also hab jetzt das Viereck gezeichnet und ich verstehe auch die Aufgabe.

Ich habe ja die Punkte :

A(4|0|0) , B(4|3|1), C(0|3|4), D(4|0|3)

Jetzt habe ich [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ 1} [/mm]

[mm] \overrightarrow{BC} [/mm] = [mm] \vektor{-4 \\ 0 \\ 3} [/mm]

[mm] \overrightarrow{CD} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ -3 \\ -1} [/mm]

[mm] \overrightarrow{AD} [/mm] =  [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 3} [/mm]

Sind die Punkte erstmal richtig ?

        
Bezug
Parallelogramm Mittelpunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:40 Mi 12.09.2012
Autor: MathePower

Hallo pc_doctor,

> Gegeben ist ein Raumviereck durch die Eckpunkte A(4|0|0) ,
> B(4|3|1), C(0|3|4), D(4|0|3). Zeichnen Sie ein Schrägbild
> des Vierecks. Zeigen Sie , dass die Seitenmittelpunkte des
> Vierecks ABCD ein Parallelogramm bilden.
>  Hallo , also die Zeichnung und die anderen Sachen sind
> hier :
>  
> http://s14.directupload.net/images/120912/gleee63q.jpg
>  
> Also hab jetzt das Viereck gezeichnet und ich verstehe auch
> die Aufgabe.
>  
> Ich habe ja die Punkte :
>
> A(4|0|0) , B(4|3|1), C(0|3|4), D(4|0|3)
>  
> Jetzt habe ich [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 3 \\ 1}[/mm]
>  
> [mm]\overrightarrow{BC}[/mm] = [mm]\vektor{-4 \\ 0 \\ 3}[/mm]
>  
> [mm]\overrightarrow{CD}[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ -3 \\ -1}[/mm]
>  
> [mm]\overrightarrow{AD}[/mm] =  [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 3}[/mm]
>  
> Sind die Punkte erstmal richtig ?


Ja.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Parallelogramm Mittelpunkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:53 Mi 12.09.2012
Autor: pc_doctor

Okay , alles klar , vielen Dank erstmal.

So , jetzt will ich die Mittelpunkte von
$ [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ 1} [/mm] $
  
$ [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{-4 \\ 0 \\ 3} [/mm] $
  
$ [mm] \overrightarrow{CD} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{4 \\ -3 \\ -1} [/mm] $
  
$ [mm] \overrightarrow{AD} [/mm] $ =  $ [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 3} [/mm] $

berechnen.

Wie auch aus der Skizze zu entnehmen ist ( http://s14.directupload.net/images/120912/gleee63q.jpg ) , bezeichne ich jetzt den ersten Mittelpunkt [mm] M_1 [/mm] und berechne ihn aus [mm] \bruch{\overrightarrow{AD}}{2} [/mm] , also [mm] \bruch{\overrightarrow{AD}}{2} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1,5} [/mm]

Folglich gilt : [mm] M_1 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1,5} [/mm]

Weiter :

[mm] M_2 [/mm] = [mm] \bruch{\overrightarrow{CD}}{2} [/mm]

[mm] M_2 [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -1,5 \\ -0,5} [/mm]

[mm] M_3 [/mm] = [mm] \bruch{\overrightarrow{BC}}{2} [/mm]

[mm] M_3 [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 0 \\ 1,5} [/mm]

[mm] M_4 [/mm] = [mm] \bruch{\overrightarrow{AB}}{2} [/mm]

[mm] M_4 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1,5 \\ 0,5} [/mm]

So ,  hier nochmal die Skizze : http://s14.directupload.net/images/120912/gleee63q.jpg

Wenn ich jetzt die ganzen Mittelpunkte habe , muss ich doch [mm] M_2 [/mm] - [mm] M_1 [/mm] berechnen und analog [mm] M_3 [/mm] - [mm] M_4. [/mm]

Also :  [mm] M_2 [/mm] - [mm] M_1 [/mm] =
[mm] \vektor{2 \\ -1,5 \\ -0,5} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1,5} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -1,5 \\ -2} [/mm]


[mm] M_3 [/mm] - [mm] M_4 [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 0 \\ 1,5} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 1,5 \\ 0,5} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ -1,5 \\ 1} [/mm]

Weiter (abgekürzt):

[mm] M_1 [/mm] - [mm] M_4 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -1,5 \\ 1} [/mm]

[mm] M_2 [/mm] - [mm] M_3 [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ -1,5 \\ -2} [/mm]


Ist das soweit richtig ?

Bezug
                        
Bezug
Parallelogramm Mittelpunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:00 Mi 12.09.2012
Autor: MathePower

Hallo pc_doctor,

> Okay , alles klar , vielen Dank erstmal.
>  
> So , jetzt will ich die Mittelpunkte von
>   [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 3 \\ 1}[/mm]
>    
> [mm]\overrightarrow{BC}[/mm] = [mm]\vektor{-4 \\ 0 \\ 3}[/mm]
>    
> [mm]\overrightarrow{CD}[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ -3 \\ -1}[/mm]
>    
> [mm]\overrightarrow{AD}[/mm] =  [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 3}[/mm]
>
> berechnen.
>  
> Wie auch aus der Skizze zu entnehmen ist (
> http://s14.directupload.net/images/120912/gleee63q.jpg ) ,
> bezeichne ich jetzt den ersten Mittelpunkt [mm]M_1[/mm] und berechne
> ihn aus [mm]\bruch{\overrightarrow{AD}}{2}[/mm] , also
> [mm]\bruch{\overrightarrow{AD}}{2}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1,5}[/mm]
>  
> Folglich gilt : [mm]M_1[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1,5}[/mm]
>  


Das ist nicht der Mittelpunkt von A und D.


> Weiter :
>  
> [mm]M_2[/mm] = [mm]\bruch{\overrightarrow{CD}}{2}[/mm]
>  
> [mm]M_2[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ -1,5 \\ -0,5}[/mm]
>
> [mm]M_3[/mm] = [mm]\bruch{\overrightarrow{BC}}{2}[/mm]
>  
> [mm]M_3[/mm] = [mm]\vektor{-2 \\ 0 \\ 1,5}[/mm]
>
> [mm]M_4[/mm] = [mm]\bruch{\overrightarrow{AB}}{2}[/mm]
>  
> [mm]M_4[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 1,5 \\ 0,5}[/mm]
>  
> So ,  hier nochmal die Skizze :
> http://s14.directupload.net/images/120912/gleee63q.jpg
>  
> Wenn ich jetzt die ganzen Mittelpunkte habe , muss ich doch
> [mm]M_2[/mm] - [mm]M_1[/mm] berechnen und analog [mm]M_3[/mm] - [mm]M_4.[/mm]
>  
> Also :  [mm]M_2[/mm] - [mm]M_1[/mm] =
> [mm]\vektor{2 \\ -1,5 \\ -0,5}[/mm] - [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1,5}[/mm] =
> [mm]\vektor{2 \\ -1,5 \\ -2}[/mm]
>  
>
> [mm]M_3[/mm] - [mm]M_4[/mm] = [mm]\vektor{-2 \\ 0 \\ 1,5}[/mm] - [mm]\vektor{0 \\ 1,5 \\ 0,5}[/mm]
> = [mm]\vektor{-2 \\ -1,5 \\ 1}[/mm]
>  
> Weiter (abgekürzt):
>  
> [mm]M_1[/mm] - [mm]M_4[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ -1,5 \\ 1}[/mm]
>  
> [mm]M_2[/mm] - [mm]M_3[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ -1,5 \\ -2}[/mm]
>  
>
> Ist das soweit richtig ?  


Gruss
MathePower

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Bezug
Parallelogramm Mittelpunkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:03 Mi 12.09.2012
Autor: pc_doctor

Ich habe doch für [mm] \overrightarrow{AD} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 3} [/mm]

Und wenn ich das ganze durch 2 teile , bekomme ich doch :

[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1,5} [/mm]

Eigentlich heißt es ja für den Mittelpunkt :

[mm] \bruch{x}{2} [/mm] , [mm] \bruch{y}{2} [/mm] , [mm] \bruch{z}{2} [/mm]

Warum ist das falsch ?

Bezug
                                        
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Parallelogramm Mittelpunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:11 Mi 12.09.2012
Autor: MathePower

Hallo pc_doctor.



> Ich habe doch für [mm]\overrightarrow{AD}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 3}[/mm]
>  
> Und wenn ich das ganze durch 2 teile , bekomme ich doch :
>
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1,5}[/mm]
>  
> Eigentlich heißt es ja für den Mittelpunkt :
>  
> [mm]\bruch{x}{2}[/mm] , [mm]\bruch{y}{2}[/mm] , [mm]\bruch{z}{2}[/mm]
>  


Das ist nur richtig, wenn Du vom Ursprung ausgehst.


> Warum ist das falsch ?  


Hier sind die Punkte A,B,C,D verschieden vom Ursprung.

Demnach ergibt sich der Mittelpunkt von A und D zu:

[mm]\overrightarrow{OA}+\bruch{1}{2}*\overrightarrow{AD}[/mm]

, wobei [mm]\overrightarrow{OA}[/mm] der Ortsvektor zum Punkt A ist.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
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Parallelogramm Mittelpunkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:15 Mi 12.09.2012
Autor: pc_doctor

Achsoo , das wusste ich garnicht.

Vielen Dank.

Also lautet [mm] M_1 [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 3} [/mm]
=
[mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 3} [/mm] ?

Kurz noch ne Frage :

Bei den meisten Sachaufgaben , die so gestellt sind , wie hier , muss man , wenn man den Mittelpunkt bestimmen will , sowas hier anwenden :

$ [mm] \overrightarrow{OA}+\bruch{1}{2}\cdot{}\overrightarrow{AD} [/mm] $ ?

Also berechnet man so immer den Mittelpunkt einer [B]STRECKE[/B] ?



Bezug
                                                        
Bezug
Parallelogramm Mittelpunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:20 Mi 12.09.2012
Autor: MathePower

Hallo pc_doctor,

> Achsoo , das wusste ich garnicht.
>  
> Vielen Dank.
>  
> Also lautet [mm]M_1[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 3}[/mm]
>  
>  =
> [mm]\vektor{4 \\ 0 \\ 3}[/mm] ?
>  


Es muss doch hier lauten:

[mm]M_1 = \vektor{4 \\ 0 \\ 0} + \red{\bruch{1}{2}}\vektor{0 \\ 0 \\ 3}[/mm]


> Kurz noch ne Frage :
>
> Bei den meisten Sachaufgaben , die so gestellt sind , wie
> hier , muss man , wenn man den Mittelpunkt bestimmen will ,
> sowas hier anwenden :
>
> [mm]\overrightarrow{OA}+\bruch{1}{2}\cdot{}\overrightarrow{AD}[/mm]
> ?
>  


Ja, sofern der Punkt  A nicht der Ursprung ist.


Gruss
MathePower

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Bezug
Parallelogramm Mittelpunkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:26 Mi 12.09.2012
Autor: pc_doctor

Oh ja tut mir Leid , hab den Bruch vergessen.


Nur nochmal , damit ich es richtig verstehe :

Wenn ich zum Beispiel diese Punkte habe :

[mm] \overrightarrow{A} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm]

und

[mm] \overrightarrow{B} [/mm] = [mm] \vektor{6 \\ 4 \\ 5} [/mm]

Und ejtzt bilde ich die Strecke [mm] \overrightarrow{AB} [/mm]

=> [mm] \overrightarrow{B} [/mm] - [mm] \overrightarrow{A} [/mm]

=> [mm] \overrightarrow{AB} [/mm]  = [mm] \vektor{6 \\ 4 \\ 5} [/mm]

Und jetzt , wenn ich den Mittelpunkt bilde , benutze ich

[mm] \bruch{x}{2} [/mm] ;  [mm] \bruch{y}{2} [/mm] ; [mm] \bruch{z}{2} [/mm]

Also : Mittelpunkt :
[mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 2,5} [/mm]

Hier ist ja [mm] \overrightarrow{A} [/mm] der Ursprung und auch der Nullvektor , ist meine Vorgehensweise richtig ?


Bezug
                                                                        
Bezug
Parallelogramm Mittelpunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:32 Mi 12.09.2012
Autor: MathePower

Hallo pc_doctor,

> Oh ja tut mir Leid , hab den Bruch vergessen.
>  
>
> Nur nochmal , damit ich es richtig verstehe :
>  
> Wenn ich zum Beispiel diese Punkte habe :
>  
> [mm]\overrightarrow{A}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>  
> und
>  
> [mm]\overrightarrow{B}[/mm] = [mm]\vektor{6 \\ 4 \\ 5}[/mm]
>  
> Und ejtzt bilde ich die Strecke [mm]\overrightarrow{AB}[/mm]
>
> => [mm]\overrightarrow{B}[/mm] - [mm]\overrightarrow{A}[/mm]
>
> => [mm]\overrightarrow{AB}[/mm]  = [mm]\vektor{6 \\ 4 \\ 5}[/mm]
>  
> Und jetzt , wenn ich den Mittelpunkt bilde , benutze ich
>
> [mm]\bruch{x}{2}[/mm] ;  [mm]\bruch{y}{2}[/mm] ; [mm]\bruch{z}{2}[/mm]
>  
> Also : Mittelpunkt :
> [mm]\vektor{3 \\ 2 \\ 2,5}[/mm]
>  
> Hier ist ja [mm]\overrightarrow{A}[/mm] der Ursprung und auch der
> Nullvektor , ist meine Vorgehensweise richtig ?
>  


Perfekt.


Gruss
MathePower

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Parallelogramm Mittelpunkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:36 Mi 12.09.2012
Autor: pc_doctor

Alles klar vielen Dank , ich ahbe jetzt alle Mittelpunkte berechnet und auch

[mm] M_1 [/mm] - [mm] M_2 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] - [mm] M_3 [/mm] und [mm] M_3 [/mm] - [mm] M_4 [/mm] und [mm] M_1 [/mm] - [mm] M_4 [/mm] berechnet und habe das hier raus :

[mm] \vektor{-2 \\ 1,5 \\ 2} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ -1,5 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{-2 \\ 1,5 \\ 2} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ -1,5 \\ 1} [/mm]

Das heißt jetzt für mich also , dass alle Seiten parallel bzw. kollinear sind , da das "r" immer den gleichen Wert hat , stimmt das ?



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Parallelogramm Mittelpunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:44 Mi 12.09.2012
Autor: chrisno


>
> Das heißt jetzt für mich also , dass alle Seiten parallel
> bzw. kollinear sind , da das "r" immer den gleichen Wert
> hat , stimmt das ?
>  

Du meinst sicher das Richtige. Die Seiten sind paarweise parallel. Alle sind nicht parallel zueinander.


Bezug
                                                                                                
Bezug
Parallelogramm Mittelpunkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:45 Mi 12.09.2012
Autor: pc_doctor

Ja , also damit meinte ich quasi , dass die gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander ist und somit habe ich bewiesen , dass die Mittelpunkte des eingezeichneten Vierecks ein Parallelogramm bilden , richtig ?

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Parallelogramm Mittelpunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:47 Mi 12.09.2012
Autor: MathePower

Hallo pc_doctor,

> Ja , also damit meinte ich quasi , dass die
> gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander ist und
> somit habe ich bewiesen , dass die Mittelpunkte des
> eingezeichneten Vierecks ein Parallelogramm bilden ,
> richtig ?


[ok]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Parallelogramm Mittelpunkte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:49 Mi 12.09.2012
Autor: pc_doctor

Alles klar , vielen vielen Dank an euch beide !

Schönen Abend noch :)

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