Parallelogramm im R^n < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:58 Di 25.11.2008 | | Autor: | Schloss |
| Aufgabe | | Ein Parallelogramm im [mm] \IR [/mm] ^n ist genau dann ein Rhombus, wenn seine Diagonalen senkrecht aufeinander stehen. |
Hallo,
Ich hab erstmal ein Viereck mit den Eckpunkten A,B,C,D festgelegt.
dann ist durch das Parallelogramm gegeben:
[mm] |\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{CD}|
[/mm]
[mm] |\overrightarrow{BD}|=|\overrightarrow{AD}|
[/mm]
und evtl, dass die gegenüberliegenden Winkel gleich sind
Voraussetzung ist dann
[mm] <\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}>=0
[/mm]
zu zeigen ist dann, [mm] |\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{AD}|
[/mm]
Wo kann ich jetzt ansetzen?
Ich hab schon versucht mit den Koordinaten umzuformen, also für [mm] A=(w_1,w_2,...,w_n) B=(x_1,x_2,...,x_n)usw., [/mm] bin aber hängen geblieben.
und muss ich dann auch noch die Rückrichtung zeigen? dass jeder Rhombus auch ein Parallelogramm ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:15 Mi 26.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn man von Parallelogramm spricht muss es wohl eben sein. maximal aber 3d
also musst du nicht mit n-dim Vektoren kaempfen sondern maximal mit 3d.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:16 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Schloss |
[mm] \IR^n [/mm] steht aber in der Aufgabenstellung?
Aber im [mm] \IR^3 [/mm] weis ich auch nicht so richtig womit ich anfangen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:12 Mi 26.11.2008 | | Autor: | glie |
Hallo,
ich hätte da einen einfachen Vorschlag....
Ein Parallelogramm ist doch immer eine ebene Figur, da ist es ganz egal, ob das im [mm] $\IR^2$, [/mm] im [mm] $\IR^3$ [/mm] oder im [mm] $\IR^n$ [/mm] liegt.
Du sollst zeigen: Ein Parallelogramm ist ein Rhombus [mm] $\gdw$ [/mm] die Diagonalen stehen aufeinander senkrecht
1. [mm] $\Leftarrow$
[/mm]
Nachdem sich die Diagonalen eines Parallelogramms gegenseitig halbieren, erhält man bei aufeinander senkrecht stehenden Diagonalen zwei kongruente gleichschenklige Dreiecke. Also sind alle 4 Seiten des Parallelogramms gleich lang.
2. [mm] $\Rightarrow$
[/mm]
Vor: Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten
zu zeigen: Diagonalen stehen aufeinander senkrecht
Umvielleicht mal in der analytischen Geometrie zu bleiben könnte man das mit Vektoren beweisen.
Nennen wir die beiden das Parallelogramm aufspannenden Vektoren [mm] $\vec{a}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$.
[/mm]
Dann sind die beiden Diagonalen [mm] $\vec{a}+\vec{b}$ [/mm] und [mm] $\vec{a}-\vec{b}$.
[/mm]
Ausserdem gilt [mm] $|\vec{a}|=|\vec{b}|$
[/mm]
Das sollte doch jetzt hinzubekommen sein.
christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:32 Mi 26.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo leduart
> Wenn man von Parallelogramm spricht muss es wohl eben
> sein. maximal aber 3d
Nun, etwas ebenes kann auch im [mm] $\IR^n$ [/mm] liegen.
> also musst du nicht mit n-dim Vektoren kaempfen sondern
> maximal mit 3d.
Genauer gesagt, es reicht sich auf die Ebene zu beschraenken, in der das Parallelogramm liegt: man waehlt eine Orthonormalbasis von der Ebene und setzt sie zu einer Orthonormalbasis vom Raum fort, und bekommt somit eine orthogonale Abbildung die die Ebene auf den [mm] $\IR^2$ [/mm] abbildet.
LG Felix
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