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| Aufgabe | | 1) A,B,C,D sei ein Viereck und MAB sei etwa der Mittelpunkt von A,B. Dann bilden die vier Mittelpunkte MAB, MBC, MDC, MAD ein (evtl. entartetes) Parallelogramm. |
Hallo mal wieder,
also, das Viereck muss ja nicht rechtwinklig sein, wie es aussieht, das heißt, dass das Parallelogramm nicht unbedingt jeweils zwei Seiten parallel haben muss???
Und wie kann ich nun diese Aufgabe beweisen? Auch mit mehreren Vektorenverkettungen? Habe das schon versucht, aber bin nicht weitergekommen. Das Problem ist auch die Frage, was ich denn herausbekommen will: Vektor MAB MBC ist gleich Vektor MAD MDC und Vektor MDC MBC ist gleich Vektor MAD MAB???
Gibt es irgendeinen Trick um das herauszubekommen??
Gruß,
Anna
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> 1) A,B,C,D sei ein Viereck und MAB sei etwa der Mittelpunkt
> von A,B. Dann bilden die vier Mittelpunkte MAB, MBC, MDC,
> MAD ein (evtl. entartetes) Parallelogramm.
> Hallo mal wieder,
>
> also, das Viereck muss ja nicht rechtwinklig sein, wie es
> aussieht, das heißt, dass das Parallelogramm nicht
> unbedingt jeweils zwei Seiten parallel haben muss???
> Und wie kann ich nun diese Aufgabe beweisen? Auch mit
> mehreren Vektorenverkettungen? Habe das schon versucht,
> aber bin nicht weitergekommen. Das Problem ist auch die
> Frage, was ich denn herausbekommen will: Vektor MAB MBC ist
> gleich Vektor MAD MDC und Vektor MDC MBC ist gleich Vektor
> MAD MAB???
> Gibt es irgendeinen Trick um das herauszubekommen??
Es genügt, dass Du z.B. zeigen kannst, dass die Vektoren [mm] $\vec{M_{AC}M}_{CD}$ [/mm] und [mm] $\vec{M_{AB}M}_{BC}$ [/mm] gleich sind. Zu diesem Zweck drückst Du diese beiden Vektoren mit Hilfe der beiden Basisvektoren [mm] $\vec{AD}$ [/mm] und [mm] $\vec{AB}$ [/mm] aus.
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Hallo,
danke schonmal, aber irgendwie komme ich doch noch nicht so recht weiter... ich hab jetzt also:
Vektor MAD MCD= (1/2)Vektor AD + (1/2) Vektor DC
und
Vektor MAB MBC= (1/2) Vektor AB + (1/2) Vektor BC
und was mache ich jetzt? um diese Mittelpunktsvektoren mit den Basisvektoren ausdrücken zu können, muss ich doch irgendetwas ausnutzen, oder? das geht doch nicht einfach so... ist denn irgendetwas laut Voraussetzung schon gleich oder parallel oder so? Doch eigentlich nicht... aber wie soll das dann gehen??
Gruß,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:39 Mo 12.05.2008 | | Autor: | weduwe |
mit den bezeichnungen des bilderl hast du:
1) [mm] \overrightarrow{HE}=\frac{1}{2}(\vec{a}-\vec{b})
[/mm]
2) [mm] \overrightarrow{GF}=\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{d}-\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{c}
[/mm]
3) [mm] \vec{b}+\vec{c}+\vec{d}=\vec{a}
[/mm]
woraus durch einsetzen von (3) in (2) folgt:
[mm] \overrightarrow{HE}=\overrightarrow{GF} [/mm] qued.
ich denke, dies mit vektoren zu beweisen, heißt mit kanonen auf spatzen schießen.
der einfachere beweis geht über den 1. strahlensatz bzw. dessen umkehrung, betrachte dazu die blauen linien.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:17 Mo 12.05.2008 | | Autor: | Somebody |
> mit den bezeichnungen des bilderl hast du:
>
> 1) [mm]\overrightarrow{HE}=\frac{1}{2}(\vec{a}-\vec{b})[/mm]
>
> 2)
> [mm]\overrightarrow{GF}=\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{d}-\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{c}[/mm]
>
> 3) [mm]\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}=\vec{a}[/mm]
>
> woraus durch einsetzen von (3) in (2) folgt:
>
> [mm]\overrightarrow{HE}=\overrightarrow{GF}[/mm] qued.
>
> ich denke, dies mit vektoren zu beweisen, heißt mit kanonen
> auf spatzen schießen.
> der einfachere beweis geht über den 1. strahlensatz
Mag sein, aber die Frage wurde im Forum Mathematik>Hochschule>Lineare Algebra gestellt. Die Lösung über Vektoralgebra wäre sogar richtig, wenn der zugrundeliegende Vektorraum nicht gar soo "anschaulicher" Natur sein sollte....
> bzw. dessen umkehrung, betrachte dazu die blauen linien.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:26 Mo 12.05.2008 | | Autor: | weduwe |
> > mit den bezeichnungen des bilderl hast du:
> >
> > 1) [mm]\overrightarrow{HE}=\frac{1}{2}(\vec{a}-\vec{b})[/mm]
> >
> > 2)
> >
> [mm]\overrightarrow{GF}=\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{d}-\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{c}[/mm]
> >
> > 3) [mm]\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}=\vec{a}[/mm]
> >
> > woraus durch einsetzen von (3) in (2) folgt:
> >
> > [mm]\overrightarrow{HE}=\overrightarrow{GF}[/mm] qued.
> >
> > ich denke, dies mit vektoren zu beweisen, heißt mit kanonen
> > auf spatzen schießen.
> > der einfachere beweis geht über den 1. strahlensatz
>
> Mag sein, aber die Frage wurde im Forum
> Mathematik>Hochschule>Lineare Algebra gestellt. Die Lösung
> über Vektoralgebra wäre sogar richtig, wenn der
> zugrundeliegende Vektorraum nicht gar soo "anschaulicher"
> Natur sein sollte....
>
> > bzw. dessen umkehrung, betrachte dazu die blauen linien.
> >
> > [Dateianhang nicht öffentlich]
> >
>
toller senf
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> Hallo,
> danke schonmal, aber irgendwie komme ich doch noch nicht
> so recht weiter... ich hab jetzt also:
>
> Vektor MAD MCD= (1/2)Vektor AD + (1/2) Vektor DC
> und
> Vektor MAB MBC= (1/2) Vektor AB + (1/2) Vektor BC
>
> und was mache ich jetzt?
> um diese Mittelpunktsvektoren mit
> den Basisvektoren ausdrücken zu können, muss ich doch
> irgendetwas ausnutzen, oder?
Richtig: Nun denkst Du daran, dass ganz offensichtlich gilt [mm] $\vec{AD}+\vec{DC}=\vec{AB}+\vec{BC}$, [/mm] denn beide diese Vektoren sind gleich [mm] $\vec{AC}$. [/mm] Zusammen mit Deinem Ergebnis hast Du den Beweis fertig.
> das geht doch nicht einfach
> so... ist denn irgendetwas laut Voraussetzung schon gleich
> oder parallel oder so? Doch eigentlich nicht... aber wie
> soll das dann gehen??
siehe oben.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:42 Mo 12.05.2008 | | Autor: | crazyhuts1 |
Ach, ja klar..!!
Danke für die vielen Antworten!! war ja echt nicht schwer...!
Gruß,
Anna
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