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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:49 Mo 16.05.2022 | | Autor: | appo13 |
| Aufgabe | Das Luftvolumen einer Fusspumpe verändert sich bei gleichmässigem Pumpen periodisch: t... Zeit in Sekunden
V(t) ...Luftvolumen in Liter
a) Das Luftvolumen kann in Abhängigkeit von der Zeit näherungsweise durch die Funktion
V(t)= A*sin(w*t+c)+0,5 beschrieben werden. Zu Beginn des Ansaugens beträgt das Luftvolumen noch 0,15l. Nach zwei Sekunden wird wieder das Maximum erreicht. Berechne die Konstanten der harmonischen Schwingung. |
Nach Entnahme der Informationen aus dem Text weiß ich folgendes:
V(0)=0,15 V(2)= A+0,5 und V'(2)=0
Ich hatte erwartet, dass ich bei 3 unbekannten und drei Bedingungen auf eine Art eindeutig lösbares Gleichungssystem stoße. Dem ist bisher leider nicht so:
V(0)= A*sin(c)= -0,35
V(2)= sin(2*w+c) = 1
V'(2)= cos(2w+c) = 0
Hier komme ich nicht weiter...
Ich habe mich gefragt, ob ich dem Text weitere Informationen entnehmen soll. Z.B. ob die Aussage "zwei Sekunden wird wieder das Maximum erreicht" impliziert, dass es bei s=0 einen Tiefpunkt oder Hochpunkt gibt? Ich finde das nicht eindeutig formuliert. Andererseits handelt es sich um eine Aufgabe aus einer Klausur eines österreichischen Mathematikkurses.
Womöglich ist aber auch mein Ansatz kompleter Mist.
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Hiho,
> Nach Entnahme der Informationen aus dem Text weiß ich
> folgendes:
>
> V(0)=0,15 V(2)= A+0,5 und V'(2)=0
Du kannst leider keine Aussage über V(2) treffen.
> V(0)= A*sin(c)= -0,35
> V(2)= sin(2*w+c) = 1
> V'(2)= cos(2w+c) = 0
1.) Du hast nicht korrekt abgeleitet, da fehlt ein $w$ als Vorfaktor und damit entgeht dir eine Lösung (wieso du auch nicht schlussfolgern kannst, dass [mm] $\sin(2*w+c) [/mm] = 1$ gilt )
2.) Es gilt ganz sicher nicht $V(2)= sin(2*w+c)$. Was du meinst ist: Im Maximum sollte gefälligst [mm] $\sin(2*w+c) [/mm] = 1$ gelten, was aber nur unter eine zusätzlichen Annahme stimmt.
3.) Gilt [mm] $\sin(2*w+c) [/mm] = 1$, so sind deine zweite und deine dritte Bedingung äquivalent, deshalb hast du eben faktisch NICHT drei Bedingungen, sondern in diesem Fall nur zwei.
Fazit: Die Aufgabe ist schlecht gestellt und nicht eindeutig lösbar.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Mo 16.05.2022 | | Autor: | appo13 |
Danke für die rasche Antwort:
>"Du kannst leider keine Aussage über V(2) treffen."
Ich hatte eigentlich gedacht, dass ich bei einer Funktion der Form f(x)= a*sin(bx+c)+d auf jeder Fall weiß, dass die maximalen Y-Werte der Hochpunkte bei a+d (für Tiefpunkte bei a-d) liegen. In diesem Fall wäre der Y-Wert des Hochpunktes ja A+0,5. Deshalb die Aussage über V(2)=A+0,5, wo dann später sin(2*w+c)=1 übrig blieb. Ist das falsch?
>"Du hast nicht korrekt abgeleitet"
Ich hatte diese Ableitung gebildet: f'(x)=A*w*cos(w*t+c) Nach Gleichsetzen mit 0 konnte ich das A und W wegteilen, sodass cos(w*t+c)=0 übrig bleibt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 Mo 16.05.2022 | | Autor: | statler |
Hallo,
in deiner Rückfrage ist deine Argumentation schon besser, aber du verschweigst immer noch deine Voraussetzungen, unter denen du argumentierst.
Also t-Wert von Hoch- und Tiefpunkt, A = 0 möglich?, [mm] $\omega [/mm] = 0$ möglich?,
'wegteilen' gehört nicht unbedingt zur Fachsprache usw.
Kennst du den Null-Produkt-Satz? In HH sehr beliebt!
Ich verweise auf meine untige Mitteilung.
Gruß Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:34 Mo 16.05.2022 | | Autor: | statler |
Aber völlig hoffnungslos ist es auch nicht.
> Berechne die Konstanten der harmonischen Schwingung.
Das ändere ich mal in:
Berechne mögliche Konstanten der harmonischen Schwingung.
Wir müssen (und dürfen) selbst festlegen, wann die Uhr anfängt zu laufen. Das soll sie, wenn die Zunahme beginnt. Dann ist bei t = 0 ein Tiefpunkt dieser Funktion. Nach 2 Sekunden soll dann der nächste Hochpunkt erreicht sein, also ist 2 die halbe Periodenlänge. Daraus folgt [mm] $\omega [/mm] = [mm] \frac{\pi}{2}$.
[/mm]
c kann ich um Vielfache von [mm] $2\pi$ [/mm] abändern, ist also immer noch nicht eindeutig, aber weil das Minimum auf der y-Achse liegen soll, ist c = [mm] $-\frac{\pi}{2}$ [/mm] eine gute Wahl.
Die Mittelachse der vorgeschlagenen Lösung liegt bei 0,5, und der Original-Sinus hat die Amplitude 1, daraus ergibt sich für A der Wert 0,35.
Also ist insgesamt
$f(t) = 0,35 [mm] \cdot sin(\frac{\pi}{2}t [/mm] - [mm] \frac{\pi}{2}) [/mm] + 0,5$
eine mögliche Lösung.>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:50 Mo 16.05.2022 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
ich liefere mal $w=0, [mm] c\in \IR\setminus\{k\pi, k\in\IZ\}, [/mm] A = [mm] -\frac{0,35}{\sin(c)}$
[/mm]
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:59 Mo 16.05.2022 | | Autor: | statler |
Diese Luftpumpe taugt doch nur noch für den Schrott ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Nachtrag: Im Aufgabentext steht 'Nach 2 Sekunden wird wieder das Maximum erreicht', bei dir kommt der nächste Hochpunkt nach dem Tiefpunkt schon wann? Siehste! Da braucht man einiges an Textexegese.
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