Parameter bestimmen -> kein WP < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:06 Mi 11.10.2006 | | Autor: | lauravr |
| Aufgabe | Für a,b [mm] \in \IR [/mm] ist f(x) = [mm] x^{4} [/mm] + ax² + bx
Für welche Parameter a und b hat der Graph von f keinen Wendepunkt? |
(Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.)
Der Lehrer hat die "Lösung" zwar angeschrieben, aber irgendwie versteh ich das an einer Stelle noch nicht genau:
f''( [mm] x_{0} [/mm] ) = 12 [mm] x_{0}² [/mm] + 2a
f''( [mm] x_{0} [/mm] ) = 0
12 [mm] x_{0}² [/mm] + 2a = 0
[mm] x_{0}² [/mm] + [mm] \bruch{a}{6} [/mm] = 0
Für a [mm] \le [/mm] 0 :
[mm] (x_{0} [/mm] + [mm] \wurzel{ \bruch{a}{6} } [/mm] ) [mm] (x_{0} [/mm] - [mm] \wurzel{ \bruch{a}{6} } [/mm] ) = 0
[mm] x_{0} [/mm] = - [mm] \wurzel{ \bruch{a}{6} } \vee x_{0} [/mm] = [mm] \wurzel{ \bruch{a}{6} }
[/mm]
[mm] f'''(x_{0} [/mm] ) [mm] \not= [/mm] 0
[mm] f'''(x_{0} [/mm] ) = [mm] 24x_{0}
[/mm]
f'''( - [mm] \wurzel{ \bruch{a}{6} } [/mm] ) = - 24 * [mm] \wurzel{ \bruch{a}{6} }
[/mm]
f''' ( [mm] \wurzel{ \bruch{a}{6} } [/mm] ) = 24 * [mm] \wurzel{ \bruch{a}{6} }
[/mm]
a < 0 ( damit [mm] f'''(x_{0} [/mm] ) [mm] \not= [/mm] 0 ) .
Die Lösung ist, dass es für a [mm] \ge [/mm] keine Wendestellen gibt.
Was mich stört ist, dass wenn a <0 ist, unter der Wurzel für [mm] x_{0} [/mm] ein Minus steht, was sich ja nicht ausrechnen lässt. Warum? Geht das trotzdem?
Aus meinen Schlussfolgerungen gäbe es für a [mm] \le [/mm] 0 keine Wendestellen.
Ich hoffe auf Hilfe,
Lg Laura
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:25 Mi 11.10.2006 | | Autor: | SLe |
f''(x) = 12x²+2a = 0
12x² = -2a
x² = -a/6
x = [mm] \pm\wurzel{-a/6}
[/mm]
=> a muß kleiner Null sein, damit unter der Wurzel etwas positives steht.
Wie du auf die Formel nach "Für [mm] a\le0" [/mm] kommst versteh ich nicht, ist aber glaub ich falsch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:33 Mi 11.10.2006 | | Autor: | lauravr |
> f''(x) = 12x²+2a = 0
> 12x² = -2a
> x² = -a/6
> x = [mm]\pm\wurzel{-a/6}[/mm]
> => a muß kleiner Null sein, damit unter der Wurzel etwas
> positives steht.
Irgendwie ist die Lösung ja viel simpler und einleuchtender. Dankeschön ;) . Hoffe nur, dass unser Lehrer auch sowas einfaches akzeptiert ...
> Wie du auf die Formel nach "Für [mm]a\le0"[/mm] kommst versteh ich
> nicht, ist aber glaub ich falsch.
Die Umkehrung der dritten binomischen Formel: a² - b²= (a+b) * (a-b)
Lg Laura
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:42 Mi 11.10.2006 | | Autor: | lauravr |
Hab noch ne kleine Nachfrage.
Ist es richtig, dass b nicht zu beachten ist, es in der 2.Ableitung, welche für Wendestellen gebraucht wird, nicht vorkommt?
Lg Laura
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:51 Mi 11.10.2006 | | Autor: | SLe |
Ja ist richtig. Fällt nach der zweiten Ableitung raus.
Aber was verstehst du unter Umkehrung der 3.bin. Formel. Du kannst doch nicht einfach a²-b² mit a²+b² gleichsetzen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:11 Do 12.10.2006 | | Autor: | Gonozal_IX |
Tut er auch nicht, allerdings hat er einen denkfehler^^
Er sagt a [mm] \le [/mm] 0, damit [mm] x_0^2 [/mm] + [mm] \bruch{a}{6} [/mm] die Form [mm] x^2 [/mm] - [mm] b^2 [/mm] hat.
Ist an sich nicht doof, hat nur nen Denkfehler drin :)
Wenn a [mm] \le [/mm] 0 gilt, es gibt nen [mm] \overline{a}, [/mm] so dass [mm] -\overline{a} [/mm] = a ist:
[mm]\Rightarrow x_0^2 - \overline{a} = (x - \sqrt{\overline{a}})(x + \sqrt{\overline{a}}) = ..... [/mm]
Dann steht da aber:
[mm] x_0 [/mm] = [mm] \sqrt{\bruch{\overline{a}}{6}} [/mm] und da a [mm] \le [/mm] 0 ist [mm] \overline{a} [/mm] somit grösser 0 
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So, nun meine Frage zum Thema:
Wieso rechnet ihr so kompliziert?
Nach notwendigem Kriterium für Wendepunkte muss gelten:
[mm]f''(x_0) = 0 [/mm]
[mm]12x_0^2 + 2a = 0 [/mm]
So, [mm] 12x_0^2 \ge [/mm] 0 gilt immer, nun muss also gelten a > 0, damit die zweite Ableitung nie Null wird und es somit keine Wendestellen geben KANN.
Das ist auch recht logisch, weil für a > 0 gilt, daß die Funktion Parabelform hat und bei a< 0 hat sie es nicht mehr
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 Do 12.10.2006 | | Autor: | lauravr |
> Tut er auch nicht, allerdings hat er einen denkfehler^^
>
> Er sagt a [mm]\le[/mm] 0, damit [mm]x_0^2[/mm] + [mm]\bruch{a}{6}[/mm] die Form [mm]x^2[/mm] -
> [mm]b^2[/mm] hat.
>
> Ist an sich nicht doof, hat nur nen Denkfehler drin :)
>
> Wenn a [mm]\le[/mm] 0 gilt, es gibt nen [mm]\overline{a},[/mm] so dass
> [mm]-\overline{a}[/mm] = a ist:
>
> [mm]\Rightarrow x_0^2 - \overline{a} = (x - \sqrt{\overline{a}})(x + \sqrt{\overline{a}}) = .....[/mm]
>
> Dann steht da aber:
>
> [mm]x_0[/mm] = [mm]\sqrt{\bruch{\overline{a}}{6}}[/mm] und da a [mm]\le[/mm] 0 ist
> [mm]\overline{a}[/mm] somit grösser 0
Jaha.. mein Lehrer...
Allerdings, verstehe ich das mit dem [mm] \overline{a} [/mm] nicht ganz. Was hat der Strich zu bedeuten?
> So, nun meine Frage zum Thema:
>
> Wieso rechnet ihr so kompliziert?
>
> Nach notwendigem Kriterium für Wendepunkte muss gelten:
>
> [mm]f''(x_0) = 0[/mm]
> [mm]12x_0^2 + 2a = 0[/mm]
>
> So, [mm]12x_0^2 \ge[/mm] 0 gilt immer, nun muss also gelten a > 0,
> damit die zweite Ableitung nie Null wird und es somit keine
> Wendestellen geben KANN.
>
> Das ist auch recht logisch, weil für a > 0 gilt, daß die
> Funktion Parabelform hat und bei a< 0 hat sie es nicht mehr
>
Das ist natürlich auch ein logischer Lösungsweg, allerdings bevorzuge ich den von SLe, einfach, weil es durch den Rechnungsweg am besten nachvollziehbar ist (Z.b. auch in der Klausur ;) )...
Lg Laura
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:55 Do 12.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
[...]
> > Wenn a [mm]\le[/mm] 0 gilt, es gibt nen [mm]\overline{a},[/mm] so dass
> > [mm]-\overline{a}[/mm] = a ist:
> >
> > [mm]\Rightarrow x_0^2 - \overline{a} = (x - \sqrt{\overline{a}})(x + \sqrt{\overline{a}}) = .....[/mm]
>
> >
[...]> >
> > [mm]x_0[/mm] = [mm]\sqrt{\bruch{\overline{a}}{6}}[/mm] und da a [mm]\le[/mm] 0 ist
> > [mm]\overline{a}[/mm] somit grösser 0
>
> Jaha.. mein Lehrer...
> Allerdings, verstehe ich das mit dem [mm]\overline{a}[/mm] nicht
> ganz. Was hat der Strich zu bedeuten?
>
Der Strich ist nur eine Bezeichnung für die Gegenzahl zu a.
[mm] \overline{a} [/mm] ist definiert als -a.
Man hätte [mm] \overline{a} [/mm] auch a', [mm] a_{-}, [/mm] b, Katze oder sonstwie nennen können.  Das ist nur eine Bezeichnung.
>
>
> > So, nun meine Frage zum Thema:
> >
> > Wieso rechnet ihr so kompliziert?
> >
> > Nach notwendigem Kriterium für Wendepunkte muss gelten:
> >
> > [mm]f''(x_0) = 0[/mm]
> > [mm]12x_0^2 + 2a = 0[/mm]
> >
> > So, [mm]12x_0^2 \ge[/mm] 0 gilt immer, nun muss also gelten a > 0,
> > damit die zweite Ableitung nie Null wird und es somit keine
> > Wendestellen geben KANN.
> >
> > Das ist auch recht logisch, weil für a > 0 gilt, daß die
> > Funktion Parabelform hat und bei a< 0 hat sie es nicht mehr
> >
>
> Das ist natürlich auch ein logischer Lösungsweg, allerdings
> bevorzuge ich den von SLe, einfach, weil es durch den
> Rechnungsweg am besten nachvollziehbar ist (Z.b. auch in
> der Klausur ;) )...
>
>
>
> Lg Laura
Wie du auf deine Lösungkommst,bleibt dir überlassen.
Es gibt oft mehrere mögliche Wege,die zur Lösung führen.
Marius
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> Das ist natürlich auch ein logischer Lösungsweg, allerdings
> bevorzuge ich den von SLe, einfach, weil es durch den
> Rechnungsweg am besten nachvollziehbar ist (Z.b. auch in
> der Klausur ;) )...
Joa, nur das SLe dir sagt, a muss kleiner Null sein.... allerdings muss a grösser Null sein, damit es keine WP gibt, aber sonst geht SLe's Weg natürlich auch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:37 Do 12.10.2006 | | Autor: | lauravr |
> Joa, nur das SLe dir sagt, a muss kleiner Null sein....
> allerdings muss a grösser Null sein, damit es keine WP
> gibt, aber sonst geht SLe's Weg natürlich auch
a<0 damit es Wendepunkte gibt.
Also gibt es für a>0 keine Wendepunkte. Aus f'''(x) folgt, dass es für a = 0 auch keine Wendestellen gibt.
;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:23 Fr 13.10.2006 | | Autor: | SLe |
Ich hab nie behauptet, daß a kleiner 0 sein muß, damit es keine Wendepunkte gibt, sondern damit unter der Wurzel etwas positives steht. Also bitte erst den Satz zu Ende lesen und nicht die Hälfte zitieren und dann mit "..." fortsetzen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:15 Fr 13.10.2006 | | Autor: | Gonozal_IX |
Jo, stimmt, allerdings kam es bei mir so an, als ob du damit auch die Lösung des Problem meintest, sorry dafür.
PS: Die ... kamen net von mir, sondern vom vorposter
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