Parameter in Bogenlänge < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweise: Ist die stetig diffbare Kurve c: I [mm] \rightarrow \IR^{n} [/mm] bei jedem Parameter t [mm] \in [/mm] I regulär, dann gibt es eine Umparametrisierung von c die die Kurve nach Bogenlänge parametrisiert.
Hinweis: Zeige das s(t) = [mm] \integral_{t_{0}}^{t}{||c'(\tau)|| d\tau} [/mm] bei [mm] t_{0} \in [/mm] I eine Parametertransformation ist für die (c [mm] \circ s^{-1})(t) [/mm] Euklidische Norm 1 hat |
guten Tach,
bei der Aufgabe komm ich absolut nicht weiter. Ich rechne daran jetzt schon ein paar stunden rum und komm auf nichts vernünftiges. könnte mir vielleicht jemand einen hinweis geben wie ich an die Sache herangehe. Danke schön.
Schönen tach noch
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Muß es nicht heißen, "daß [mm]\left( c \circ s^{-1} \right)'[/mm] euklidische Norm 1 hat"?
Beachte, daß nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
[mm]s'(t) = \left| c'(t) \right|[/mm]
gilt (ich verwende einfache Striche für die euklidische Norm). [mm]s[/mm] ist somit streng monoton wachsend, also eine zulässige Parametertransformation, und umkehrbar. Und jetzt wende auf [mm]p = c \circ s^{-1}[/mm] beim Differenzieren die (mehrdimensionale) Kettenregel an. Beachte auch die Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion. Bei richtiger Rechnung erhältst du
[mm]p'(u) = \frac{c' \left( s^{-1}(u) \right)}{\left| c' \left( s^{-1}(u) \right) \right|}[/mm]
Und hier gilt offensichtlich [mm]\left| p'(u) \right| = 1[/mm] .
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